Question

2．下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
①e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2；②ln2＞$\frac{2}{3}$；③$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{1}{e}$；④$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用分析法和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可判斷，②根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷，③利用分析法和構(gòu)造函數(shù)，④兩邊取對(duì)數(shù)即可判斷．

解答 解：對(duì)于①，設(shè)f（x）=elnx-x，x＞0，∴f′（x）=$\frac{e}{x}$-1=$\frac{e-x}{x}$，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（e）=elne-e=0，∴f（2）=eln2-2＜f（e）=0，即2＞eln2，e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2，故①正確；
對(duì)于②，∵8＞e² ∴l(xiāng)n8＞lne²．∴3ln2＞2，ln2＞$\frac{2}{3}$；因此正確，
對(duì)于③，設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g$′（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵e＜π，∴g（e）＞g（π），即$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{1}{e}$；故③正確．
對(duì)于④，∵2^π＜π²，∴$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$．，④正確；
正確的命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．