Question

16．在二項(xiàng)式（1+$\frac{x}{2}$）⁸的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)為m，則${∫}_{0}^{1}$（mx+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx=$\frac{7}{2}$+$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式定理可求出m的值，再根據(jù)定積分的計(jì)算法則和定積分的幾何意義即可求出．

解答 解：二項(xiàng)式（1+$\frac{x}{2}$）⁸的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)為m=C₈³（$\frac{1}{2}$）³=7，
${∫}_{0}^{1}$（7x）dx=$\frac{7}{2}$x²|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{7}{2}$，
${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，
故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$（7x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx=$\frac{7}{2}$+$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$+$\frac{π}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分計(jì)算和二項(xiàng)式的系數(shù)，以及定積分的幾何意義，屬于中檔題．