Question

2．過點（$\sqrt{2}$，0）引直線l與曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通過曲線方程確定曲線表示單位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點），直線與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合，從而確定直線斜率-1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面積，利用二次函數(shù)求最值，確定直線斜率k的值．

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，得
x²+y²=1（y≥0）
∴曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示単位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點）
由題知，直線斜率存在，設直線l的斜率為k，
若直線與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合
則-1＜k＜0
∴直線l的方程為：y-0=k（x-$\sqrt{2}$）
即kx-y-$\sqrt{2}$k=0
則圓心O到直線l的距離d=$\frac{|-\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
直線l被半圓所截得的弦長為
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-t8wmutb^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|
=$\frac{1}{2}$$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{2{k}^{2}（1-{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{-4}{（1+{k}^{2}）^{2}}+\frac{6}{1+{k}^{2}}-2}$，
令$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=t
則S_△AOB=$\sqrt{-4{t}^{2}+6t-2}$
當t=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$時
S_△AOB有最大值為$\frac{1}{2}$
此時，$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
又∵-1＜k＜0
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，利用數(shù)形結合，二次函數(shù)求最值等思想進行解答．