Question

17．已知圖1是一個邊長為1的正三角形，三邊中點的連線將它分成四個小三角形，去掉中間的一個小三角形，得到圖2，再對圖2中剩下的三個小三角形重復(fù)前述操作，得到圖3，重復(fù)這種操作可以得到一系列圖形．記第n個圖形中所有剩下的小三角形的面積之和為a_n，所以去掉的三角形的周長之和為b_n．
（ I） 試求a₄，b₄；
（ II） 試求a_n，b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論代入計算即可；
（Ⅱ）根據(jù)圖形依次求出三角形個數(shù)和最小三角形的邊長，根據(jù)等差、等比數(shù)列的特點進行歸納，再利用等差、等比數(shù)列的通項公式進行求解．

解答 （ I）解：∵${a_n}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{3}{4}）^{n-1}}$，b_n=3${（\frac{3}{2}）}^{n-1}$-3，

∴${a_4}=\frac{{27\sqrt{3}}}{256}，b4=\frac{57}{8}$．
（ II）解：由圖易知，后一個圖形中剩下的三角形個數(shù)是前一個的3倍，
∴第n個圖形中剩下的三角形個數(shù)為3^n-1．
又∵后一個圖形中剩下的三角形邊長是前一個的$\frac{1}{2}$倍，
∴第n個圖形中每個剩下的三角形邊長是${（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，面積是$\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$．
∴${a_n}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{3}{4}）^{n-1}}$．
設(shè)第n個圖形中所有剩下的小三角形周長為c_n，由圖可知，c_n-b_n=3．
因為后一個圖形中剩下的三角形邊長是前一個的$\frac{1}{2}$倍，
∴第n個圖形中每個剩下的三角形邊長是${（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，周長是$3（\frac{1}{2}{）^{n-1}}$．
∴${c_n}=3（\frac{3}{2}{）^{n-1}}$，從而${b_n}={c_n}-3=3（\frac{3}{2}{）^{n-1}}-3$．

點評 本題考查了歸納推理，等差、等比數(shù)列的通項公式，考查圖形變化的一般規(guī)律問題，通過觀察掌握其內(nèi)在規(guī)律，考查學(xué)生觀察、分析、歸納能力．