Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=10，${a_{n+1}}=9{S_n}+10（{n∈{N^*}}）$，若m（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶lga_n＜10lga_n+（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁷對任意n∈N^*恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-10，$\frac{19}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意可知：a_n+1=9S_n+10  ①，a_n+2=9S_n+1+10  ②，兩式相減即可求得{a_n}是首項a₁=10，公比q=10的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可lga_n=lg10ⁿ=n，分類討論，分離參數(shù)，即可求得m的取值范圍．

解答 解：∵a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
∴當n=1時，a₂=9a₁+10=100，
故$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=10，
當n≥1時，a_n+1=9S_n+10  ①，
a_n+2=9S_n+1+10  ②，
兩式相減得a_n+2-a_n+1=9a_n+1，
即a_n+2=10a_n+1，則$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=10，
即{a_n}是首項a₁=10，公比q=10的等比數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=10•10_n-1=10ⁿ；
則lga_n=lg10ⁿ=n，
m（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶lga_n＜10lga_n+（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁷，
當n為偶數(shù)時，則m×n＜10n-1，
則m＜10-$\frac{1}{n}$，當n=2時，10-$\frac{1}{n}$取最大值，最大值為$\frac{19}{2}$，
則m＜$\frac{19}{2}$，
當n為奇數(shù)時，則-m×n＜10n+1，
則m＞-10-$\frac{1}{n}$，則n→∞，m取最小值，最小值-10，
即m＞-10，
∴m的取值范圍（-10，$\frac{19}{2}$），
故答案為：（-10，$\frac{19}{2}$）．

點評 本題考查等比數(shù)列通項公式求法，等比數(shù)列的通項公式，考查分類討論思想，屬于中檔題．