Question

13．摩拜單車和ofo小黃車等各種共享自行車已經(jīng)遍布大街小巷，給我們的生活帶來了便利．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：每車使用1小時(shí)之內(nèi)是免費(fèi)的，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)還車的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)．
（Ⅰ）求甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲乙兩人所付租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出甲、乙租車時(shí)間超過2小時(shí)的概率，
再計(jì)算甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率值；
（Ⅱ）根據(jù)題意知隨機(jī)變量ξ的所有取值，
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）甲租車時(shí)間超過2小時(shí)的概率為1-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
乙租車時(shí)間超過2小時(shí)的概率為1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
則甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為
P=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$；
（Ⅱ）甲乙兩人所付租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，
則ξ的所有取值為0，2，4，6，8；
且P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=6）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=8）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{16}$；
∴ξ的分布列為

ξ	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{1}{8}$+2×$\frac{5}{16}$+4×$\frac{5}{16}$+6×$\frac{3}{16}$+8×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．