Question

16．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是線段BC、CD₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EF與AA₁所成角的大小
（2）求直線EF與平面AA₁B₁B所成角的大�。�

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，利用向量方法，即可求出所求角．

解答 解：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，1），A（2，0，0），A₁（2，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），
∴異面直線EF與AA₁所成角的余弦值為|$\frac{2}{\sqrt{3}•2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴異面直線EF與AA₁所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）平面AA₁B₁B的法向量為（1，0，0），
∴直線EF與平面AA₁B₁B所成角的正弦值為|$\frac{-1}{\sqrt{3}•1}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線EF與平面AA₁B₁B所成角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間角，考查向量方法的運(yùn)用，正確求出向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．