Question

12．定圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，動圓N過點F（$\sqrt{3}$，0）且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E．求軌跡E的方程．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用圓心距與半徑的關(guān)系可得：|MN|+|MF|=4$＞2\sqrt{3}$，從而得M的軌跡E是以M、F為焦點的橢圓，由橢圓的定義可得曲線E的方程．

解答 解：如圖，A（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，0），定圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，動圓N過點F（$\sqrt{3}$，0）且與圓M相切，

∵|MN|=4-|FM，
可得：|MN|+|MF|=4$＞2\sqrt{3}$，
∴N的軌跡E是以M、F為焦點的橢圓，且a=2，c=$\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=1，
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查了圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了橢圓的定義，是中檔題．