Question

10．在直角坐標(biāo)系xoy中，圓O：x²+y²=4與x軸負(fù)半軸交于點A，過點A的直線AM，AN分別與圓O交于M，N兩點．
（1）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求△AMN的面積；
（2）過點P（3，-4）作圓O的兩條切線，切點分別為E、F，求 $\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$．

Answer 1

分析 （1）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求出|AM|，|AN|，即可求△AMN的面積；（2）求出sin∠OPE，利用向量的數(shù)量積公式，求 $\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$即可．

解答 解：（1）∵A（-2，0），k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，
∴直線AM的方程是：y=2x+4，
直線AN的方程是：y=-$\frac{1}{2}$x-1，
∴圓心O的直線AM的距離d=$\frac{|4|}{\sqrt{5}}$，
從而|AM|=2$\sqrt{4-\frac{16}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵K_AM•K_AN=-1，
∴AM⊥AN，
∴|AN|=2d=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{16}{5}$；
（2）∵$|{OP}|=\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}=5$$|{\overrightarrow{PE}}|=\sqrt{P{O^2}-O{E^2}}=\sqrt{21}$，
∴$sin∠OPE=\frac{2}{5}$
又∵$cos∠FPE=cos2∠OPE=1-2{sin^2}∠OPE=\frac{17}{25}$，
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=|{\overrightarrow{PE}}||{\overrightarrow{PF}}|cos∠FPE={（\sqrt{21}）^2}•\frac{17}{25}=\frac{357}{25}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．