Question

3．如圖，約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{y≤-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}}\\{y≥-x+4}\\{y≥\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，若在可行域△ABC上有無窮多個點（x，y），使得目標函數(shù)z=x+my取得最小值，求m的值．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，然后對m分類討論求得滿足條件的m的值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}}\\{y≥-x+4}\\{y≥\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

若m=0，目標函數(shù)為z=x，有最小值的點僅有A點，不合題意；
若m＞0，化目標函數(shù)z=x+my為y=-$\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$，由圖可知，線段AC上的點均滿足題意，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{x-2y-1=0}\end{array}\right.$，解得C（3，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{x+4y-13=0}\end{array}\right.$，解得A（1，3），
此時$-\frac{1}{m}={k}_{AC}=-1$，得m=1；
若m＜0，化目標函數(shù)z=x+my為y=-$\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$，由圖可知，滿足目標函數(shù)取得最小值的點僅有A點，不合題意．
∴滿足條件的m值為1．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．