Question

11．已知點P（a，b）在線段AB上運動，其中A（0，1），B（2，0）試求（a-1）²+（b+1）²的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得b=1-$\frac{1}{2}$a，其中0≤a≤2，代入化簡可得（a-1）²+（b+1）²=$\frac{5}{4}$a²-4a+5=$\frac{5}{4}$（a-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：∵點P（a，b）在線段AB上運動，A（0，1），B（2，0），
∴直線AB的方程為x+2y-2=0，
∴a+2b-2=0，
∴b=1-$\frac{1}{2}$a，其中0≤a≤2，
∴（a-1）²+（b+1）²=（a-1）²+（1-$\frac{1}{2}$a+1）²
=$\frac{5}{4}$a²-4a+5=$\frac{5}{4}$（a-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，
由二次函數(shù)可知，當a=$\frac{8}{5}$時上式取最小值，最小值為$\frac{9}{5}$
當a=0時，上式取最大值5，
∴（a-1）²+（b+1）²的取值范圍為[$\frac{9}{5}$，5]．

點評 本題考查兩點間的距離公式，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．