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【題目】已知函數(shù),
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若時,關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若數(shù)列滿足, ,記的前項和為,求證: .
【答案】(I);(II);(III)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(Ⅱ)當時,因為,所以顯然不成立,先證明因此時, 在上恒成立,再證明當時不滿足題意,從而可得結(jié)果;(III)先求出等差數(shù)列的前項和為,結(jié)合(II)可得,各式相加即可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由,得.所以
令,解得或(舍去),所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅱ)由得,
當時,因為,所以顯然不成立,因此.
令,則,令,得.
當時, , ,∴,所以,即有.
因此時, 在上恒成立.
②當時, , 在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
∴,不滿足題意.
綜上,不等式在上恒成立時,實數(shù)的取值范圍是.
(III)證明:由知數(shù)列是的等差數(shù)列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在上恒成立.
所以. 將以上各式左右兩邊分別相加,得
.因為
所以
所以.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知直線, (為參數(shù), 為傾斜角).以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的直角坐標方程為.
(Ⅰ)將曲線的直角坐標方程化為極坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)點的直角坐標為,直線與曲線的交點為、,求的取值范圍.
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【題目】以下命題為假命題的是( )
A. “若m>0,則方程x2+x-m=0有實數(shù)根”的逆命題
B. “面積相等的三角形全等”的否命題
C. “若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題
D. “若A∪B=B,則AB”的逆否命題
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【題目】已知函數(shù),.,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)如果函數(shù)在(0, )上單調(diào)遞增,求m的取值范圍;
(2)設(shè),,且,求證:.
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【題目】(本小題共13分)
已知, 或1, ,對于, 表示U和V中相對應(yīng)的元素不同的個數(shù).
(Ⅰ)令,存在m個,使得,寫出m的值;
(Ⅱ)令,若,求證: ;
(Ⅲ)令,若,求所有之和.
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【題目】函數(shù)為參數(shù),
(1)解關(guān)于的不等式;
(2)當最大值為,最小值為,若,求參數(shù)的取值范圍;
(3)若在區(qū)間上滿足有兩解,求的取值范圍.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求,判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明.
(2)對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=,g(x)=(a>0,且a≠1).
(1)求函數(shù)φ(x)=f(x)+g(x)的定義域;
(2)試確定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍.
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