四川省成都市2009屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測

數(shù)學(xué)試題（理科）

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。全卷滿分150分。完成時間為120分鐘。

 

第Ⅰ卷

 

注意事項(xiàng)：

       1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號、考試科目涂寫在答題卡上。

       2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上。

       3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

 

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么                  球的表積公式：

P（A+B）=P（A）+P（B）                 

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么              其中R表示球的半徑

P（A?B）=P（A）?P（B）                 球的體積公式

    如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，   

那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k 次的概率  其中R表示球的半徑

 

一、選擇題：

1．的值                                                                                                         （    ）

       A．小于0                B．大于0                C．等于0                D．無法確定

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2．已知集合等于                                （    ）

       A．4                       B．0或4                 C．0或2                D．2

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3．已知的最小正周期是

                                                                                                                              （    ）

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       A．                   B．                      C．                     D．1

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4．已知等差數(shù)列等于   （    ）

       A．3：2                  B．3：5                   C．2：5                  D．2：3

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5．在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）中，已知，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率為                                                                        （    ）

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       A．0.9672              B．0.9706               C．0.9412              D．0.9524

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6．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線的最短距離為

                                                                                                                              （    ）

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       A．5                       B．3                        C．1                       D．

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7．若A、B為一對對立事件，其概率分別為的最小值為（    ）

       A．9                       B．10                      C．6                       D．8

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8．從0、1、4、5、8這5個數(shù)字中任選四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，在這些四位數(shù)中，不大于5104的四位數(shù)的總個數(shù)是                                                                                 （    ）

       A．56                     B．55                      C．54                     D．52

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9．已知的反函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，若的值等于                                      （    ）

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       A．            B．2                        C．1                       D．

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10．有下列命題：①在空間中，若；②直角梯形是平面圖形；③{正四棱柱}{直平行六面體}{長方體}；④在四面體P―ABC中，，則點(diǎn)A在平面PBC內(nèi)的射影恰為的垂心，其中逆否命題為真命題的個數(shù)是                                                                   （    ）

       A．1                       B．2                        C．3                       D．4

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                                                                                                                              （    ）

 

 

 

 

 

 

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12．已知曲線E的參數(shù)方程為，則下列說法正確的是    （    ）

       A．過點(diǎn)（1，0）并與曲線E相交所得弦長為8的直線存在且有兩條

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       B．與曲線E相切的充分不必要條件

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       C．若為曲線E上的點(diǎn)，則的最大值為3

20090520

 

第Ⅱ卷

 

注意事項(xiàng)：

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       1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。

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       2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。

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       3．本卷共10小題，共90分。

 

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。

13．被7除所得的余數(shù)是           。

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14．設(shè)函數(shù)的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，的大小關(guān)系為           。

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15．已知點(diǎn)A、B、C在球心為O的球面上，的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為，球心O到截面ABC的距離為，則該球的表面積為           。

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16．用符號表示超過的最小整數(shù)，如，有下列命題：①若函數(shù)，則值域?yàn)?sub>；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列也是等差數(shù)列；③若，則方程有5組解，④已知向量不可能為直角。

       其中，所有正確命題的番號應(yīng)是           。

 

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三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。

17．（本小題滿分12分）

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       已知點(diǎn)

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   （I）若向量的值；

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   （II）若向量的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）

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       如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面互相垂直，，CE//AF，

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   （II）求異面直線CM與FD所成角的大��；

   （III）求二面角A―DF―B的大小。

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

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       某企業(yè)準(zhǔn)備招聘一批大學(xué)生到本單位就業(yè)，但在簽約前要對他們的某項(xiàng)專業(yè)技能進(jìn)行測試。在待測試的某一個小組中有男、女生共10人（其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)），如果從中隨機(jī)選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為

   （I）求該小組中女生的人數(shù)；

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   （II）假設(shè)此項(xiàng)專業(yè)技能測試對該小組的學(xué)生而言，每個女生通過的概率均為，每個男生通過的概率均為，現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進(jìn)行測試，記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）

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       已知雙曲線，焦點(diǎn)F2到漸近線的距離為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1。

   （I）求此雙曲線的方程；

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   （II）過雙曲線焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線的兩支分別相交于A、B兩點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2且與AB平行的直線與雙曲線分別相交于C、D兩點(diǎn)，若A、B、C、D這四點(diǎn)依次構(gòu)成平行四邊形ABCD，且，求直線AB的方程。

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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       已知函數(shù)處的切線恰好為軸。

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   （I）求的值；

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   （II）若區(qū)間恒為函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，求實(shí)數(shù)的最小值；

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   （III）記（其中），的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)是否存在極值點(diǎn)？若存在，請找出極值點(diǎn)并論證是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分14分）

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       已知數(shù)列為方向向量的直線上，

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   （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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   （II）求證：（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；

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   （III）記求證：

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第I卷（選擇題 共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

1―6ADBADC  7―12ABCBBC

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．2  14．   15．  16．①③

三、解答題（本大題共6小題，共74分）

17．解：（I）

      

      

          4分

       又    2分

   （II）    

           2分


   

    
    

    
       
       
              3分
18．（I）證明：由題意可知CD、CB、CE兩兩垂直。
       可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
       則       2分
       由  1分
       
       
       又平面BDF，
       平面BDF。       2分
  
（Ⅱ）解：設(shè)異面直線CM與FD所成角的大小為
       
       
       。
       即異面直線CM與FD所成角的大小為  
3分
  
（III）解：平面ADF，
       平面ADF的法向量為      1分
       設(shè)平面BDF的法向量為
       由
            1分
       
          1分
       由圖可知二面角A―DF―B的大小為  
1分
19．解：（I）設(shè)該小組中有n個女生，根據(jù)題意，得
       
       解得n=6,n=4（舍去）
       該小組中有6個女生。        5分
  
（II）由題意，的取值為0，1，2，3。      1分
       
       
       
             4分
       的分布列為：
0
1
2
3
P
       …………1分
        3分
20．解：（I）到漸近線=0的距離為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，
               3分
            1分
  
（II）由題意，知直線AB的斜率必存在。
       設(shè)直線AB的方程為
       由，
       顯然
       
             2分
       由雙曲線和□ABCD的對稱性，可知A與C、B與D關(guān)于原點(diǎn)對稱。
       而    1分
            
       點(diǎn)O到直線的距離  
2分
       
       
       
               1分
21．解：（I）
       
              3分
  
（Ⅱ）     1分
       
       上單調(diào)遞增；
       又當(dāng)
       上單調(diào)遞減。      1分
       只能為的單調(diào)遞減區(qū)間，
       
       的最小值為0。
  
（III）
       
       
       于是函數(shù)是否存在極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對方程內(nèi)根的討論。
       而
            1分
       ①當(dāng)
       此時有且只有一個實(shí)根
                            
       存在極小值點(diǎn)     1分
       ②當(dāng)
       當(dāng)單調(diào)遞減；
       當(dāng)單調(diào)遞增。
             1分
       ③當(dāng)
       此時有兩個不等實(shí)根
       
       單調(diào)遞增，
       單調(diào)遞減，
       當(dāng)單調(diào)遞增，
       ，
       存在極小值點(diǎn)      1分
       綜上所述，對時，
       存在極小值點(diǎn)
       當(dāng)     
       當(dāng)存在極小值點(diǎn)
       存在極大值點(diǎn)      1分
  
（注：本小題可用二次方程根的分布求解。）
22．（I）解：由題意，      1分
             1
       為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。
                
1分
            1分
  
（Ⅱ）證明：
       
       
       構(gòu)造輔助函數(shù)
       
       單調(diào)遞增，
       
       令
       則
       
               4分
  
（III）證明：
       
       
       
       時，
       
       
       （當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號）。      3分
       另一方面，當(dāng)時，
       
       
       
       
       
       
       （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。
       （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。
       綜上所述，有      3分
 

				
	

		



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