例1  已知，若求的范圍。

錯(cuò)誤解法  由條件得

②×2－①得                                                    

①×2－②得                                                 

+得 

錯(cuò)誤分析  采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大（�。┲禃r(shí)，不一定取最大（�。┲担�因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法  由題意有

解得：

把和的范圍代入得

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。

例2     證明勾股定理：已知在中，，求證

錯(cuò)誤證法  在中，而，

，即

錯(cuò)誤分析  在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。

(2)  驗(yàn)算的訓(xùn)練

驗(yàn)算是解題后對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。

例3   已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求

錯(cuò)誤解法 

錯(cuò)誤分析  顯然，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：

例4   實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法  將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，

得                                        ①

因?yàn)橛袃蓚�(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得  

 解之，得

錯(cuò)誤分析  （如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得

因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，

（1）    有一個(gè)公共點(diǎn)；

（2）    有三個(gè)公共點(diǎn)；

（3）    有四個(gè)公共點(diǎn)；

（4）    沒有公共點(diǎn)。

養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。

(3)  獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解

受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例5   30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場比賽？

解  因?yàn)槊繄鲆�淘�?個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29場比賽。

思 路 分 析  傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15＋7＋4＋2＋1＝29場比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場比賽。

例6   解方程

考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)，它們的圖象無交點(diǎn)。

所以此方程無解。

例7  設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是（     ）

思路分析  本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：

有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。

原方程有兩個(gè)實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，的最小值是8；當(dāng)時(shí)，的最小值是18；

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。