Question

10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，以M（3，0）為圓心的⊙M交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸正半軸于點(diǎn)C（0，4），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)D．
（1）求⊙M的半徑及點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）在⊙M上是否存在點(diǎn)P，使∠CPM=45°？若存在，在圖①中畫出P點(diǎn)位置，并直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（3）在圖②中，過點(diǎn)C作⊙M的切線CE交過x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AN⊥CE于點(diǎn)F，交⊙M于點(diǎn)N，求AN的值．

Answer 1

分析 （1）連接CM，構(gòu)造Rt△COM，利用勾股定理可求得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，根據(jù)題意，可知△CMP為等腰直角三角形，且CM=MP=5，根據(jù)圓的方程和兩點(diǎn)直接的距離公式列出方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）作MH⊥AN于H，則AH=NH，易證△AMH≌△MCO，故AH=MO，由垂徑定理可證得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①，連接CM，
在Rt△COM中，OC=4，OM=3，CM=$\sqrt{O{C}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AM=5，
∴OA=2，
∴⊙M的半徑為5，A（-2，0）；

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），結(jié)合題意，
可得△CMP為等腰直角三角形，且CM=PM=5，
故CP=5$\sqrt{2}$；
結(jié)合題意有，
$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+{y}^{2}=25}\\{{x}^{2}+（y-4）^{2}=50}\end{array}\right.$；
解之得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=7}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)P；
P₁（7，3），P₂（-1，-3）；

（3）證明：如圖2，連接CM，作MH⊥AN于H，
則AH=HN，
∵EC切⊙M，
∴∠ECM=90°，
∴四邊形DMCF是矩形，
∴∠CMH=90°，
在△AMH和△MCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH}\\{∠COM=∠ADM=90°}\\{CM=AM}\end{array}\right.$
∴△AMH≌△MCO，
∴AH=M0=3，
即AN=HN+AH=3+3=6．

點(diǎn)評 本題主要考查的是垂徑定理的應(yīng)用和切線與圓之間的性質(zhì)關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，方程組的解法，綜合性強(qiáng)，能夠熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用和切線與圓之間的性質(zhì)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．