Question

1．【數(shù)學(xué)思考】
如圖1，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

【問題解決】
如圖2，過點(diǎn)B作BB′⊥l₂，且BB′等于河寬，連接AB′交l₁于點(diǎn)M，作MN⊥l₁交l₂于點(diǎn)N，則MN就為橋所在的位置．
【類比聯(lián)想】
（1）如圖3，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求證：AF=EG．
（2）如圖4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，設(shè)y=$\frac{HF}{EG}$，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
【拓展延伸】
如圖5，一架長5米的梯子斜靠在豎直的墻面OE上，初始位置時(shí)OA=4米，由于地面OF較光滑，梯子的頂端A下滑至點(diǎn)C時(shí)，梯子的底端B左滑至點(diǎn)D，設(shè)此時(shí)AC=a米，BD=b米．
（3）當(dāng)a=1 米時(shí)，a=b．
（4）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)時(shí)，a＜b？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)作BH∥EG交CD于點(diǎn)H，由ASA定理得出△ABF≌△BCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）作BM∥GE交CD于點(diǎn)M，作AN∥HF交BC于點(diǎn)N，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和四邊形ABCD是矩形，由相似三角形的性質(zhì)得出△ABN∽△BCM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理得到（4-a）²+（3+b）²=5²，根據(jù)a=b解方程即可；
（4）過點(diǎn)B作DC的平行線，過點(diǎn)C作OF的平行線，兩線交于點(diǎn)P，連接AP，由題意可得DBPC為平行四邊形，故可得出∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，由等邊對(duì)等角可知∠3＜∠5，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作BH∥EG交CD于點(diǎn)H．則BH=EG．
∵AF⊥EG，
∴BH⊥AF，
∴∠BIF=90°，
∴∠IBF+∠AFB=90°，
又∵直角△ABF中，∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠IBF，
∴在△ABF和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠IBF}\\{AB=BC}\\{∠ABF=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCH，
∴AF=BH，
∴AF=EG；
（2）同理作BM∥EG交CD于點(diǎn)M，作AN∥HF交BC于點(diǎn)N．
同（1）可得∠BAN=∠MBC，
又∵∠ABN=∠C，
∴△ABN∽△BCM，
∴$\frac{AN}{BM}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{x}$，
又HF=AN，EG=BM，
∴y=$\frac{2}{x}$；

（3）解：∵CO=4-a，DO=3+b．
∴Rt△DOC中，DC²=（4-a）²+（3+b）²，
即（4-a）²+（3+b）²=5²．
當(dāng)a=b時(shí)，有（4-a）²+（3+a）²=25，
解得a=1或a=0（不合）．
故答案為：1；

（4）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜b．理由如下：
如圖5，過點(diǎn)B作DC的平行線，過點(diǎn)C作OF的平行線，兩線交于點(diǎn)P，連接AP．
∵CD∥BP，PC∥OF，
∴DBPC為平行四邊形，
∴BP=DC，CP=BD．
又AB=DC，
∴BP=AB．
∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．
若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，
∵∠1＞∠2，
∴∠3＜∠4．
又∵∠5=∠4，
∴∠3＜∠5．
∵Rt△ABO中，sin∠3=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
同理sin∠5=$\frac{OC}{CD}$=$\frac{4-a}{5}$，
∴$\frac{4-a}{5}$＞$\frac{3}{5}$，
解得，0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是四邊形綜合題，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)注意銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用．