Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB邊上一點（點E不與點A、B重合），DE的延長線交⊙O于點G，DF⊥DG，且交BC于點F．
（1）求證：AE=BF；
（2）連接GB，EF，求證：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由三角形ABC為等腰直角三角形，求出∠A與∠C的度數(shù)，根據(jù)AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到∠ADB為直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD=$\frac{1}{2}$AC，進而確定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）連接EF，BG，由三角形AED與三角形BFD全等，得到ED=FD，進而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；
（3）由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的長，由GE+ED求出GD的長即可．

解答 （1）證明：連接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴AD=DC=BD=$\frac{1}{2}$AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在△AED和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FBD}\\{AD=BD}\\{∠EDA=∠FDB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE=BF；
（2）證明：連接EF，BG，
∵△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，
∴根據(jù)勾股定理得：EF²=EB²+BF²，
∵EB=2，BF=1，
∴EF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△DEF為等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴cos∠DEF=$\frac{DE}{EF}$，
∵EF=$\sqrt{5}$，
∴DE=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴$\frac{GE}{AE}$=$\frac{EB}{ED}$，即GE•ED=AE•EB，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}$•GE=2，即GE=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
則GD=GE+ED=$\frac{9\sqrt{10}}{10}$．

點評 此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．