Question

3．已知：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+1，b+k）兩點，
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若兩個函數(shù)圖象的交點A的坐標(biāo)是（m，1），請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標(biāo)都求出來（并在圖中標(biāo)出來）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把過一次函數(shù)的兩個點代入一次函數(shù)，即可求得k，進而求得反比例函數(shù)的解析式．
（2）應(yīng)先求出OA的距離，然后根據(jù)：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情況討論解決．

解答 解：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）兩點代入一次函數(shù)解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{2a}=b}\\{\frac{k}{2（a+1）}=b+k}\end{array}\right.$，
解得：k=2．
故反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{1}{x}$；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），B（-$\frac{1}{2}$，-2），
當(dāng)AO=PO時
∵點A坐標(biāo)是（1，1），
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{2}$，
∴P點的坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)AO=AP時，
∴OP=2，
∴點P的坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)PO=AP時，PO=1，
∴點P的坐標(biāo)為（1，0）．
綜上所述：點P坐標(biāo)為：（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），（1，0），（2，0）．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求解析式以及求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，結(jié)合圖象，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．