Question

8．已知圓的方程為x²+y²=8，圓內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），AB為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為α的弦．
（1）當(dāng)α=135°時(shí)，求AB的長(zhǎng)
（2）求過(guò)點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)O做OG⊥AB于G，連接OA，依題意可知直線AB的斜率，求得AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離求得OG即圓的半徑，進(jìn)而求得OA的長(zhǎng)，則OB可求得．
（2）設(shè)出AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)題意聯(lián)立方程組，消去k求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)O做OG⊥AB于G，連接OA，
當(dāng)α=135°時(shí)，直線AB的斜率為-1，
故直線AB的方程x+y-1=0，
∴|OG|=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵r=2$\sqrt{2}$，
∴|AG|=$\sqrt{8-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∴|AB|=2|AG|=$\sqrt{30}$；…（6分）
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x，y），AB的斜率為k，OM⊥AB，
則$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x+1）}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，
消去k，得x²+y²-2y+x=0，
當(dāng)AB的斜率k不存在時(shí)也成立，
故過(guò)點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為x²+y²-2y+x=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．解題的過(guò)程通過(guò)代數(shù)的運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題，最后翻譯成幾何結(jié)論．