Question

9．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且F₂為拋物線C₂：y²=2px的焦點，C₂的準線l被C₁和圓x²+y²=a²截得的弦長分別為2$\sqrt{2}$和4，求C₁和C₂的方程．

Answer 1

分析 推導出C₂的準線l的方程為x=-c，$\frac{p}{2}=c$，由C₂的準線l被C₁和圓x²+y²=a²截得的弦長分別為2$\sqrt{2}$和4，列出方程組，求出a，b，c，由此能求出C₁和C₂的方程．

解答 解：如圖，∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
且F₂為拋物線C₂：y²=2px的焦點，
∴C₂的準線l的方程為x=-c，OC=c，OD=a，CD=b，$\frac{p}{2}=c$，
∵C₂的準線l被C₁和圓x²+y²=a²截得的弦長分別為2$\sqrt{2}$和4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{BC=2\sqrt{2}=\frac{2^{2}}{a}}\\{AD=4=2b}\end{array}\right.$，解得b=2，a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{8-4}$=2，p=4，
∴C₁的方程為$\frac{{{x}^{2}}_{\;}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
C₁的方程為y²=8x．

點評 本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查橢圓、拋物線、圓等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．