Question

11．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則：
①若cosBcosC＞sinBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若acosA=bcosB，則△ABC為等腰三角形；
③$\overrightarrow a=（tanA+tanB，tanC）$，$\overrightarrow b=（1，1）$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，則△ABC為銳角三角形；
④若O為△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}（{b^2}-{c^2}）$；
⑤若sin²A+sin²B=sin²C，$且\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，$則\frac{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}+{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}{{{{|{\overrightarrow{OC}}|}^2}}}=5$
以上敘述正確的序號是①③④⑤．

Answer 1

分析 對5個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若cosBcosC＞sinBsinC，則cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）＞0，
即-cosA＞0，cosA＜0，則∠A為鈍角，故△ABC一定是鈍角三角形，正確．
②若acosA=bcosB，則由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，錯誤；
③$\overrightarrow a=（tanA+tanB，tanC）$，$\overrightarrow b=（1，1）$，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=tanA+tanB+tanC=（1-tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0
tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）⇒0＞tanAtanBtan（A+B）
∴必有A+B＞$\frac{π}{2}$，且A，B都為銳角
∴C也必為銳角，
∴△ABC為銳角三角形，正確，
④O為△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$，
=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AC}$＞-|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=$\frac{1}{2}$（b²-c²），正確，
⑤若sin²A+sin²B=sin²C，則由正弦定理得a²+b²=c²，則△ABC是直角三角形，
∴（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）=0，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$）+${\overrightarrow{OC}}^{2}$=0，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$=-2${\overrightarrow{OC}}^{2}$，
∵-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$，∴$\overrightarrow{OC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{OA}$²+2$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$，∴5$\overrightarrow{OC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{OA}$²，即結(jié)論成立．
故答案為①③④⑤．

點評 本題考查三角形中的有關(guān)知識，考查向量知識的運用，屬于中檔題．