Question

13．理科競賽小組有9名女生、12名男生，從中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析．
（Ⅰ）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可）
（Ⅱ）如果隨機抽取的7名同學的物理、化學成績（單位：分）對應如表：

學生序號	1	2	3	4	5	6	7
物理成績	65	70	75	81	85	87	93
化學成績	72	68	80	85	90	86	91

規(guī)定85分以上（包括85份）為優(yōu)秀，從這7名同學中再抽取3名同學，記這3名同學中物理和化學成績均為優(yōu)秀的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如果按照性別比例分層抽樣，則從9名女生、12名男生，從中隨機抽取一個容量為7的樣本，抽取的女生為3人，男生為4人．利用組合數的意義即可得出．
（II）這7名同學中物理和化學成績均為優(yōu)秀的人數為3人，抽取的3名同學中物理和化學成績均為優(yōu)秀的人數X可能取值為0，1，2，3，可得P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{7}^{3}}$，即可得出分布列與數學期望計算公式．

解答 解：（Ⅰ）如果按照性別比例分層抽樣，則從9名女生、12名男生，
從中隨機抽取一個容量為7的樣本，抽取的女生為3人，男生為4人．可以得到${∁}_{9}^{3}{∁}_{12}^{4}$個不同的樣本．
（II）這7名同學中物理和化學成績均為優(yōu)秀的人數為3人，
抽取的3名同學中物理和化學成績均為優(yōu)秀的人數X可能取值為0，1，2，3，
則P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{7}^{3}}$，可得P（X=0）=$\frac{4}{35}$，P（X=1）=$\frac{18}{35}$，P（X=2）=$\frac{12}{35}$，P（X=3）=$\frac{1}{35}$．
其X分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

數學期望E（X）=0+1×$\frac{18}{35}$+2×$\frac{12}{35}$+3×$\frac{1}{35}$=$\frac{9}{7}$．

點評 本題考查了超幾何分布列的概率數學期望及其方差的計算公式、組合數與乘法計數原理計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．