Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-2，x∈[-2，3]．若方程f（x）=m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值，即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：f′（x）=3x²+6x=3x（x+2），
∵x∈[-2，3]，令f′（x）=0，解得x=-2，0．
可得x∈（-2，0）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（0，3]時(shí)，f′（x）＞0．
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f_min（x）=f（0）=-2．
而f（-2）=-8+12-2=2，f（3）=27+27-2=52，
因此f（x）的最大值為f（3）=52．
∵方程f（x）=m有解，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-2，52]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值、方程的實(shí)數(shù)根，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．