Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，分別求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用分段函數(shù)化簡(jiǎn)f（x）的解析式，利用單調(diào)性求得它的最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x-4|，由不等式f（x）＞2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x-（4-x）＞2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x≤4}\\{2x-1-（4-x）＞2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{2x-1-（x-4）＞2}\end{array}\right.$．
解①求得x＜-5，解②求得$\frac{7}{3}$＜x≤4，解③求得x＞4，
綜上，不等式的解集為{x|x＜-5，或x＞$\frac{7}{3}$}．
（2）函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x＜\frac{1}{2}}\\{3x-5，\frac{1}{2}≤x≤4}\\{x+3，x＞4}\end{array}\right.$，故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．