Question

14．設(shè)$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x-2y+2≥0\\{x^2}-4y≤0\end{array}\right.$圍成的區(qū)域?yàn)镈，P（x，y）為D內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則x+2y的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，6]．

Answer 1

分析 作出約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x-2y+2≥0\\{x^2}-4y≤0\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的可行域，變形目標(biāo)函數(shù)可得y=x+2y，平移直線可得最大值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)切線求解最小值．

解答 解：作出約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x-2y+2≥0\\{x^2}-4y≤0\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖陰影），
變形目標(biāo)函數(shù)z=x+2y，
可得y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
平移直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$解得A（2，2），z=x+2y取最大值6，
y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，可得y′=$\frac{1}{2}x$．切點(diǎn)坐標(biāo)（m，n）.$\frac{1}{2}m$=$-\frac{1}{2}$，m=-1．則f（-1）=$\frac{1}{4}$．
當(dāng)直線經(jīng)過切點(diǎn)時(shí)，z=x+2y取最小值：-1+2×$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴z=x+2y的取值范圍為：[-$\frac{1}{2}$，6]
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．