Question

19．若$f（x）=\frac{x}{x+1}$，f₁（x）=f（x），${f_n}（x）={f_{n-1}}[{f（x）}]（{n≥2，n∈{N^*}}）$，則f（1）+f（2）+…f（2015）+f₁（1）+f₂（1）+f₃（1）+…f₂₀₁₅（1）的值為（　�。�

• A． 2014
• B． 2015
• C． 4028
• D． 4030

Answer 1

分析 利用題中所給的關(guān)系式首先求得f_n（x）的解析式，然后利用函數(shù)解析式的特點(diǎn)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果．

解答 解：由題意可得：${f}_{1}（x）=f（x）=\frac{x}{x+1}$，
${f}_{2}（x）={f}_{1}[f（x）]={f}_{1}（\frac{x}{x+1}）=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}+1}=\frac{x}{2x+1}$，
${f}_{3}（x）={f}_{2}[f（x）]={f}_{2}（\frac{x}{x+1}）=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{2x}{x+1}+1}=\frac{x}{3x+1}$，
據(jù)此歸納可得：${f}_{n}（x）=\frac{x}{nx+1}$ （n≥2，n∈N*），
則：${f}_{n}（1）+f（n）=\frac{1}{n+1}+\frac{n}{n+1}=1$，
據(jù)此可得：
f（1）+f（2）+…f（2015）+f₁（1）+f₂（1）+f₃（1）+…f₂₀₁₅（1）
=f（1）+f₁（1）+f（2）+f₂（1）+f（3）+f₃（1）+…+f（2015）+f₂₀₁₅（1）
=1+1+1+…+1（2015個(gè)）
=2015．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求解，函數(shù)解析式的特征，歸納推理的思想等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．