Question

3．如圖是某社區(qū)的部分規(guī)劃設計圖，住宅區(qū)一邊的邊界曲線記為C，步行街（寬度不計）所在直線L與曲線C相切于點M，以點E為圓心，1百米為半徑的圓的四分之一為大型超市，為方便住宅區(qū)居民購物休閑，該社區(qū)計劃在步行街與大型超市之間鋪設一條連接道路AB（寬度不計）以及修建花園廣場．
根據相關數據，某同學建立了平面直角坐標系xOy，曲線C用函數模型y=e^x-1+kx+b（k，b為常數）擬合．并求得直線l：y=2x，M（1，2），E（2$\sqrt{5}$，0），單位：百米．點A在l上，點B在$\widehat{FG}$上
（1）求曲線C的方程和AB的最短距離；
（2）若過點A作AP垂直于x軸，垂足為P，在空地△APB內截取一個面積最大的矩形，用來修建一個花園廣場．要求矩形的一邊在AB上．在連接道路AB最短時，求花園廣場的面積．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義列不等式組，得出k和b，求出E到直線l的距離即可得出AB的最短距離；
（2）求出直線AB的方程，計算P到直線AB的距離，利用相似三角形得出矩形花園廣場的兩邊x，y的關系，利用二次函數的性質和x的范圍得出花園廣場的面積．

解答 解：（1）∵y=e^x-1+kx+b與y=2x相切于點M（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+k+b=2}\\{1+k=2}\end{array}\right.$，解得k=1，b=0，
∴曲線C的方程為y=e^x-1+x，
點E（2$\sqrt{5}$，0）到直線l的距離為d=$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=4，圓E的半徑r=1，
∴|AB|的最短距離為d-r=3百米．
（2）由（1）可知|AB|最短時，A，B，E三點共線且，AB⊥l，
設A（x，2x），則$\frac{2x}{x-2\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴A（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），P（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0），
直線AB的方程為：y=y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．即x+2y-2$\sqrt{5}$=0．
∴P到直線AB的距離為$\frac{|\frac{2\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5}$．
設矩形花園廣場在AB上的邊長為x（0＜x＜3），另一邊為y，則$\frac{x}{3}=\frac{\frac{8}{5}-y}{\frac{8}{5}}$，即y=$\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$．
∴矩形花園的面積S=xy=x（$\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$）=-$\frac{8}{15}$x²+$\frac{8}{5}$x=-$\frac{8}{15}$x（x-3）．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，S取得最大值$\frac{6}{5}$．
即矩形花園廣場的面積為$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了導數的幾何意義，函數最值的計算，屬于中檔題．