分析 (1)根據導數的幾何意義列不等式組,得出k和b,求出E到直線l的距離即可得出AB的最短距離;
(2)求出直線AB的方程,計算P到直線AB的距離,利用相似三角形得出矩形花園廣場的兩邊x,y的關系,利用二次函數的性質和x的范圍得出花園廣場的面積.
解答 解:(1)∵y=ex-1+kx+b與y=2x相切于點M(1,2),
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+k+b=2}\\{1+k=2}\end{array}\right.$,解得k=1,b=0,
∴曲線C的方程為y=ex-1+x,
點E(2$\sqrt{5}$,0)到直線l的距離為d=$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=4,圓E的半徑r=1,
∴|AB|的最短距離為d-r=3百米.
(2)由(1)可知|AB|最短時,A,B,E三點共線且,AB⊥l,
設A(x,2x),則$\frac{2x}{x-2\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$,解得x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴A($\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\frac{4\sqrt{5}}{5}$),P($\frac{2\sqrt{5}}{5}$,0),
直線AB的方程為:y=y=-$\frac{1}{2}$(x-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$)+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.即x+2y-2$\sqrt{5}$=0.
∴P到直線AB的距離為$\frac{|\frac{2\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5}$.
設矩形花園廣場在AB上的邊長為x(0<x<3),另一邊為y,則$\frac{x}{3}=\frac{\frac{8}{5}-y}{\frac{8}{5}}$,即y=$\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$.
∴矩形花園的面積S=xy=x($\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$)=-$\frac{8}{15}$x2+$\frac{8}{5}$x=-$\frac{8}{15}$x(x-3).
∴當x=$\frac{3}{2}$時,S取得最大值$\frac{6}{5}$.
即矩形花園廣場的面積為$\frac{6}{5}$.
點評 本題考查了導數的幾何意義,函數最值的計算,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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A. | f(x)=lnx | B. | f(x)=e-x | C. | $f(x)=\sqrt{x}$ | D. | $f(x)=-\frac{1}{x}$ |
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A. | 對于任意x∈(0,3π),都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),則|x1-x2|的最小值為$\frac{π}{2}$ | |
B. | 存在a∈R,使得函數f(x+a)為偶函數 | |
C. | 存在x0∈(0,3π),使得f(x0)=4 | |
D. | 函數f(x)在區(qū)間$[\frac{π}{2},\frac{5π}{4}]$內單調遞增 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{1}{7}$ | B. | $\frac{1}{7}$ | C. | -7 | D. | 7 |
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