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3.如圖是某社區(qū)的部分規(guī)劃設計圖,住宅區(qū)一邊的邊界曲線記為C,步行街(寬度不計)所在直線L與曲線C相切于點M,以點E為圓心,1百米為半徑的圓的四分之一為大型超市,為方便住宅區(qū)居民購物休閑,該社區(qū)計劃在步行街與大型超市之間鋪設一條連接道路AB(寬度不計)以及修建花園廣場.
根據相關數據,某同學建立了平面直角坐標系xOy,曲線C用函數模型y=ex-1+kx+b(k,b為常數)擬合.并求得直線l:y=2x,M(1,2),E(2$\sqrt{5}$,0),單位:百米.點A在l上,點B在$\widehat{FG}$上
(1)求曲線C的方程和AB的最短距離;
(2)若過點A作AP垂直于x軸,垂足為P,在空地△APB內截取一個面積最大的矩形,用來修建一個花園廣場.要求矩形的一邊在AB上.在連接道路AB最短時,求花園廣場的面積.

分析 (1)根據導數的幾何意義列不等式組,得出k和b,求出E到直線l的距離即可得出AB的最短距離;
(2)求出直線AB的方程,計算P到直線AB的距離,利用相似三角形得出矩形花園廣場的兩邊x,y的關系,利用二次函數的性質和x的范圍得出花園廣場的面積.

解答 解:(1)∵y=ex-1+kx+b與y=2x相切于點M(1,2),
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+k+b=2}\\{1+k=2}\end{array}\right.$,解得k=1,b=0,
∴曲線C的方程為y=ex-1+x,
點E(2$\sqrt{5}$,0)到直線l的距離為d=$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=4,圓E的半徑r=1,
∴|AB|的最短距離為d-r=3百米.
(2)由(1)可知|AB|最短時,A,B,E三點共線且,AB⊥l,
設A(x,2x),則$\frac{2x}{x-2\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$,解得x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴A($\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\frac{4\sqrt{5}}{5}$),P($\frac{2\sqrt{5}}{5}$,0),
直線AB的方程為:y=y=-$\frac{1}{2}$(x-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$)+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.即x+2y-2$\sqrt{5}$=0.
∴P到直線AB的距離為$\frac{|\frac{2\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5}$.
設矩形花園廣場在AB上的邊長為x(0<x<3),另一邊為y,則$\frac{x}{3}=\frac{\frac{8}{5}-y}{\frac{8}{5}}$,即y=$\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$.
∴矩形花園的面積S=xy=x($\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$)=-$\frac{8}{15}$x2+$\frac{8}{5}$x=-$\frac{8}{15}$x(x-3).
∴當x=$\frac{3}{2}$時,S取得最大值$\frac{6}{5}$.
即矩形花園廣場的面積為$\frac{6}{5}$.

點評 本題考查了導數的幾何意義,函數最值的計算,屬于中檔題.

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