Question

6．（1）已知雙曲線E過點P（-2，4$\sqrt{3}$），且與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1有相同的漸近線，求雙曲線E的標準方程；
（2）設(shè)直線y=kx-1與雙曲線E交于A，B兩點，則是否存在實數(shù)k，使得線段AO和BO垂直，（O為坐標原點），若存在，試求出k的值，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，即可求雙曲線E的標準方程；
（2）假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點轉(zhuǎn)化為k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求解實數(shù)k的值．

解答 解：（1）依題意，設(shè)所求的雙曲線的標準方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=λ（λ≠0），
將點P（-2，4$\sqrt{3}$）的坐標代入，
得：2-6=λ，
∴λ=-4，
∴所求的雙曲線的標準方程是$\frac{{y}^{2}}{32}$-$\frac{{x}^{2}}{8}$=1；
（2）聯(lián)立直線y=kx-1與雙曲線E，消去y得（k²-4）x²-2kx-31=0，
假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，
則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）=0，
即（k²+1）x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）•$\frac{-31}{{k}^{2}-4}$-k•$\frac{2k}{{k}^{2}-4}$+1=0，
方程無解，故不存在實數(shù)k，使得線段AO和BO垂直．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題．