Question

14．某高校一專業(yè)在一次自主招生中，對20名已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進行語言表達能力和邏輯思維能力測試，結(jié)果如表：

語言表達能力 人數(shù) 邏輯思維能力	一般	良好	優(yōu)秀
一般	2	2	1
良好	4	m	1
優(yōu)秀	1	3	n

由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這20名參加測試的學(xué)生中隨機抽取一人，抽到語言表達能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為$\frac{2}{5}$．
（1）從參加測試的語言表達能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，求其中至少有一名邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；
（2）從參加測試的20名學(xué)生中任意抽取2名，設(shè)語言表達能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及其均值．

Answer 1

分析 （1）語言表達能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+n）名，由題意得$\frac{6+n}{20}=\frac{2}{5}$，從而n=2，m=4，由此利用對立事件概率計算公式能求出從參加測試的語言表達能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，其中至少有一名邏輯能力優(yōu)秀的學(xué)生．
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．

解答 解：（1）用A表示“從這20名參加測試的學(xué)生中隨機抽取一人，抽到語言表達能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生”，
∵語言表達能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+n）名，
∴P（A）=$\frac{6+n}{20}=\frac{2}{5}$，解得n=2，
∴m=4，
用B表示“從參加測試的語言表達能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，其中至少有一名邏輯能力優(yōu)秀的學(xué)生”，
∴P（B）=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{7}{12}$．
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為0，1，2，
∵20名學(xué)生中，語言表達能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)共有名，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{48}{95}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{14}{95}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{48}{95}$	$\frac{14}{95}$

E（X）=$0×\frac{33}{95}+1×\frac{48}{95}+2×\frac{14}{95}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．