Question

18．證明：（Ⅰ）$sinαcosβ=\frac{1}{2}[sin（α+β）+sin（α-β）]$
（Ⅱ）$sinα+sinβ=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用兩角和差的正弦函數(shù)公式化簡等式的右邊，從而證得等式成立．
（Ⅱ）由兩角和與差的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡等式右邊，即可得證．

解答 （本題滿分為8分）
證明：（Ⅰ）∵右邊=$\frac{1}{2}$[sinαcosβ+cosαsinβ+（sinαcosβ-cosαsinβ）]=$\frac{1}{2}$×2sinαcosβ=sinαcosβ=左邊，
∴$sinαcosβ=\frac{1}{2}[sin（α+β）+sin（α-β）]$成立．
（Ⅱ）右邊=2（sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{β}{2}$+cos$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$）（cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{β}{2}$+sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$）=2sin$\frac{α}{2}$cos²$\frac{β}{2}$cos$\frac{α}{2}$+2sin²$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$cos$\frac{β}{2}$+2cos²$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$cos$\frac{β}{2}$+2cos$\frac{α}{2}$sin²$\frac{β}{2}$sin$\frac{α}{2}$
=sinαcos²$\frac{β}{2}$+sin²$\frac{α}{2}$sinβ+cos²$\frac{α}{2}$sinβ+sin²$\frac{β}{2}$sinα
=sinα（cos²$\frac{β}{2}$+sin²$\frac{β}{2}$）+（sin²$\frac{α}{2}$+cos²$\frac{α}{2}$）sinβ
=sinα+sinβ
得證．（每小題4分）

點評 本題主要考查兩角和差的正弦函數(shù)，余弦公式的應用，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．