Question

11．在多項(xiàng)式（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵的展開(kāi)式中，含x²項(xiàng)的系數(shù)為（　　）

• A． -32
• B． 32
• C． -96
• D． 96

Answer 1

分析 化（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵=${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$•${x}^{\frac{5}{2}}$•${（1+2\sqrt{x}）}^{5}$；
在${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$展開(kāi)式中，利用通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式各項(xiàng)，得出符合條件的項(xiàng)，
即可求出多項(xiàng)式展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵=${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$•${x}^{\frac{5}{2}}$•${（1+2\sqrt{x}）}^{5}$；
在${（3\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{4}$展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{4}^{r}$•${（3\sqrt{x}）}^{4-r}$•${（-\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{r}$=3^4-r•（-2）^r•${C}_{4}^{r}$•${x}^{2-\frac{5r}{6}}$；
令r=0，其展開(kāi)式中是x²，不合題意；
令r=1，其展開(kāi)式中是${x}^{\frac{1}{6}}$，不合題意；
令r=2，其展開(kāi)式中是${x}^{\frac{1}{3}}$，不合題意；
令r=3，其展開(kāi)式中是${x}^{-\frac{1}{2}}$，符合題意，
且含x²項(xiàng)的系數(shù)為3•（-2）³•${C}_{4}^{3}$=-96；
令r=4，其展開(kāi)式中是${x}^{-\frac{4}{3}}$，不合題意；
綜上，多項(xiàng)式（3$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁴（$\sqrt{x}$+2x）⁵的展開(kāi)式中，含x²項(xiàng)的系數(shù)為-96．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．