Question

8．已知函數f（x）=sinx．
（1）當x＞0時，證明：${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$；
（2）若當$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，$f（x）+\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}＞ax$恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=cosx，設$g（x）={f^'}（x）-（{1-\frac{x^2}{2}}）=cosx-（{1-\frac{x^2}{2}}）$，則g′（x）=1-cosx＞0，由此利用導數性質能證明當x＞0時，${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$．
（2）原不等式等價于sinx+tanx＞ax，設h（x）=sinx+tanx-ax，則${h^'}（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，$0＜x＜\frac{π}{2}$，令 t=cosx，由 $0＜x＜\frac{π}{2}$，得0＜t＜1，設$t+\frac{1}{t^2}=k（t）$，則${k^'}（t）=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}＜0$，由此利用分類討論思想和導數性質能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵函數f（x）=sinx，x＞0，∴f′（x）=cosx，
設$g（x）={f^'}（x）-（{1-\frac{x^2}{2}}）=cosx-（{1-\frac{x^2}{2}}）$，
則g′（x）=-sinx+x，g''（x）=1-cosx＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴g′（x）＞g′（0）=0，
∴當x＞0時，${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$．
（2）當$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，$f（x）+\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}＞ax$恒成立，
等價于sinx+tanx＞ax，
設h（x）=sinx+tanx-ax，則${h^'}（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，$0＜x＜\frac{π}{2}$，
令 t=cosx，由 $0＜x＜\frac{π}{2}$，得0＜t＜1，
設$t+\frac{1}{t^2}=k（t）$${k^'}（t）=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}＜0$，
∴k（t）在（0，1）上是減函數，∴k（t）＞k（1）=2，
當a≤2時，h′（x）≥0，∴h（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是增函數，∴h（x）＞h（0）=0成立，
當a＞2時$t+\frac{1}{t^2}=a$在（0，1）僅有一根，設根為t₀，設cosx=t₀，$0＜x＜\frac{π}{2}$，
存在唯一m有cosm=t₀，
當x∈（0，m）時，${t_0}＜cosx＜1⇒{h^'}（x）＜0$，
∴h（x）在（0，m）上單調遞減，∴h（x）＜h（0）=0，
這與條件矛盾，所以a＞2時不成立
綜上得到實數a的取值范圍是{a|a≤2}．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，正確求導是解題的關鍵．