Question

16．解關于x的不等式：$\frac{ax}{x-1}≤1$．

Answer 1

分析 分當a＞1、當a=1、當0＜a＜1，a=0，a＜0情況，分別求出不等式的解集．

解答 解：：$\frac{ax}{x-1}≤1$可得$\frac{ax}{x-1}$-1≤0，即$\frac{（a-1）x+1}{x-1}$≤0，
等價于[（a-1）x+1]（x-1）≤0，且x≠1，
當a＞1時，解得$\frac{1}{1-a}$≤x＜1，
當a=1時，解得x＜1，
當a＜1時，不等式化簡為（x-$\frac{1}{1-a}$）（x-1）≥0，且x≠1
①當0＜a＜1時，解得x＜1或x≥$\frac{1}{1-a}$，
②當a=0時，解得x≠1，
③當a＜0時，解得x≤$\frac{1}{1-a}$或x＞1，
綜上所述，當a＞1時，不等式的解集為[$\frac{1}{1-a}$，1），
當a=1時，不等式的解集為（-∞，1），
當0＜a＜1時，不等式的解集為（-∞，1）∪[$\frac{1}{1-a}$，+∞），
當a=0時，不等式的解集為（-∞，0）∪（0，+∞），
當a＜0時，不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{1-a}$]∪（1，+∞）．

點評 本題主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．