Question

7．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，DE=3，∠BAD=60°，G為BC的中點．
（1）求證：FG∥平面BED
（2）求三棱錐B-DAE的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于O，連接OE，可得EFGO為平行四邊形⇒GF∥OE，又GF?面BED，OE?面DEB⇒FG∥平面BED；
（2）延長DA，作EH⊥DA垂足為H，由平面AED⊥平面ABCD，⇒EH⊥平面ABCD，⇒EH=DEsin∠DEA=$\sqrt{5}$，即三棱錐B-DAE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×AD×sin6{0}^{0}×EH=\frac{\sqrt{15}}{6}$

解答 解：（1）連接AC交BD于O，連接OE，OG⇒OG∥$\frac{1}{2}$CD∥EF，OG=$\frac{1}{2}CD$=EF，
EFGO為平行四邊形⇒GF∥OE，又GF?面BED，OE?面DEB⇒FG∥平面BED；
（2）延長DA，作EH⊥DA垂足為H，
由平面AED⊥平面ABCD，
∵DA=平面AED∩平面ABCD，EH?平面AED⇒EH⊥平面ABCD，
cos∠EDA=$\frac{D{E}^{2}+D{A}^{2}-A{E}^{2}}{2DE•DA}=-\frac{2}{3}$⇒sin∠EDA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$
⇒EH=DEsin∠DEA=$\sqrt{5}$
∴三棱錐B-DAE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×AD×sin6{0}^{0}×EH=\frac{\sqrt{15}}{6}$．．

點評 本題考查了線面平行的判定，幾何體的體積，屬于中檔題．