Question

15．如圖，矩形ABCD中，$AB=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}$，M為DC的中點(diǎn)，將△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM．
（1）求證：平面D′AM⊥平面ABCM；
（2）若E為D′B的中點(diǎn)，求三棱錐A-D′EM的體積．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，由題意可得∠AMB=90°，結(jié)合D'A⊥BM，可得BM⊥面D'AM，再由面面垂直的判定可得面ABCM⊥面D'AM；
（2）在矩形ABCD中，求得BM=2，${S}_{△ADM}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，然后利用等積法求得三棱錐A-D′EM的體積．

解答 （1）證明：由題知，在矩形ABCD中，∠AMD=∠BMC=45°，
∴∠AMB=90°，又D'A⊥BM，D′A∩AM=A，
∴BM⊥面D'AM，
又BM?平面ABCM，
∴面ABCM⊥面D'AM；
（2）解：在矩形ABCD中，
∵AD=DM=$\sqrt{2}$，∴BM=2，${S}_{△ADM}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$．
∴${V_{A-D'EM}}={V_{E-AD'M}}=\frac{1}{2}{V_{B-AD'M}}=\frac{1}{6}•BM•{S_{△D'AM}}=\frac{1}{6}•2•1=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．