Question

17．某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，在研究如下問題：“某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)小正方形，求f（n）．”
甲小組的方案是：先計(jì)算f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）；再計(jì)算f（2）-f（1），f（3）-f（2），f（4）-f（3），f（5）-f（4）；進(jìn)而猜想f（n+1）-f（n）的關(guān)系式（不要證明）；再利用累加法求得f（n）；
乙小組的方案是：注意到該刺繡的圖案從左到右，各列中的小正方形圖案關(guān)于中間一列的小正方形圖案左右對(duì)稱，據(jù)此，從左到右，按各列的小正方形數(shù)，先列出f（n）的求和的式子，再對(duì)之求和；現(xiàn)請(qǐng)你任選其中的一種方案，計(jì)算f（n）．（注意：必須完成方案中的每一個(gè)步驟）

Answer 1

分析 總結(jié)一般性的規(guī)律：f（n+1）與f（n）的關(guān)系式，再?gòu)目偨Y(jié)出來(lái)的一般性的規(guī)律轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解即得．

解答 解：根據(jù)甲的方案：
∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（5）=41，
∴f（2）-f（1）=4=4×1．
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式規(guī)律得出f（n+1）-f（n）=4n，
∴f（2）-f（1）=4×1，
f（3）-f（2）=4×2，
f（4）-f（3）=4×3，
…
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n）-f（n-1）=4•（n-1），
∴f（n）-f（1）=4[1+2+…+（n-2）+（n-1）]=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結(jié)其內(nèi)在聯(lián)系，得到一般性的結(jié)論，若求解的項(xiàng)數(shù)較少，可一直推理出結(jié)果，若項(xiàng)數(shù)較多，則要得到一般求解方法，再求具體問題．