Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{2-x}{3+x}}+ln（{{3^x}-\frac{1}{3}}）$的定義域?yàn)镸．
（1）求M；
（2）當(dāng)x∈M時，求$g（x）={4^{x+\frac{1}{2}}}-{2^{x+2}}$+1的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）有意義，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2-x}{3+x}≥0\\{3^x}-\frac{1}{3}＞0\end{array}\right.$，解出x的范圍可得定義域M．
（2）講g（x）化簡，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，利用x∈M時，考查單調(diào)性可得值域．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2-x}{3+x}≥0\\{3^x}-\frac{1}{3}＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-3＜x≤2\\ x＞-1\end{array}\right.$，
∴-1＜x≤2，
所以M=（-1，2]．
（2）由$g（x）={4^{x+\frac{1}{2}}}-{2^{x+2}}+1=2•{2^{2x}}+4•{2^x}+1=2{（{{2^x}-1}）^2}-1$，
∵x∈M，即-1＜x≤2，
∴$\frac{1}{2}＜{2^x}＜4$，
∴當(dāng)2^x=1，即x=0時，g（x）_min=-1，
當(dāng)2^x=4，即x=2時，g（x）_max=17，
故得g（x）的值域?yàn)閇-1，17]．

點(diǎn)評 本題考查定義域的求法和指數(shù)函數(shù)的化簡能力，轉(zhuǎn)化思想，利用二次函數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)的單調(diào)性求解值域，屬于函數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題．