Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=xf（x），h（x）=2ax²-（2a-1）x+a-1，若x≥1時，g（x）≤h（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（2）當(dāng)x≥1時，g（x）≤h（x）恒成立，即為xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，討論x=1和x＞1，由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，即可判斷g（x）的單調(diào)性，可得a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故f（x）_max=f（1）=-1；
（2）當(dāng)x≥1時，g（x）≤h（x）恒成立，
即為xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，
當(dāng)x=1時，上式顯然成立．
當(dāng)x＞1時，可得a≥$\frac{xlnx-x+1}{{（x-1）}^{2}}$，
由 $\frac{xlnx-x+1}{{（x-1）}^{2}}$-1=$\frac{xlnx-（x-1）{-（x-1）}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$，
設(shè)g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），
g′（x）=1+lnx-1-2（x-1）=lnx-2（x-1），
由g″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0在x＞1恒成立，
可得g′（x）在（1，+∞）遞減，可得g′（x）＜g′（1）=0，
即g（x）在（1，+∞）遞減，可得g（x）＜g（1）=0，
則 $\frac{xlnx-x+1}{{（x-1）}^{2}}$＜1成立，
即有a≥1．
即a的范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．