Question

1．已知數列{a_n}的所有項均為正值，其前n項積為T_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）求和：S_n=a₁+2a₂+…+（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3-1．

Answer 1

分析 （I）數列{a_n}的所有項均為正值，其前n項積為T_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，可得n≥2時，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$，a₁=T₁．
（II）利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（I）數列{a_n}的所有項均為正值，其前n項積為T_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴n≥2時，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}{{2}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}}$=2^n-1．
又a₁=T₁=1．對于上式也成立．
∴a_n=2^n-1．
（II）設A_n=a₁+2a₂+…+（n+2）a_n+2=1+2×2+3×2²+…+（n+2）•2ⁿ⁺¹．
∴2A_n=2+2×2²+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹+（n+2）•2ⁿ⁺²，
相減可得：-A_n=1+2+2²+…+2ⁿ⁺¹-（n+2）•2ⁿ⁺²=$\frac{{2}^{n+2}-1}{2-1}$-（n+2）•2ⁿ⁺²，
∴A_n=（n+1）•2ⁿ⁺²+1．
∴S_n=a₁+2a₂+…+（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3-1
=（n+1）•2ⁿ⁺²+1-（n+1）×2ⁿ⁺²-1
=0．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．