Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=（{x-1}）{e^x}+\frac{a}{2}{x^2}$．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a∈[-e，0]，證明：函數(shù)f（x）只有一個零點．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點個數(shù)，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）定義域為R，f′（x）=xe^x+ax=x（e^x+a），
①若a≥0時，當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．
②若a＜0，令f′（x）=0得x=0或x=ln（-a），
（i）當(dāng)a=-1時，f′（x）=x（e^x-1），所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（ii）當(dāng)-1＜a＜0時，ln（-a）＜0，當(dāng)x＜ln（-a）或x＞0時，f′（x）＞0，
當(dāng)ln（-a）＜x＜0時，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，ln（-a）），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（ln（-a），0）單調(diào)遞減；
（iii）當(dāng)a＜-1時，ln（-a）＞0，當(dāng)x＞ln（-a）或x＜0時，f′（x）＞，當(dāng)0＜x＜ln（-a）時，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0），（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，在（0，ln（-a））單調(diào)遞減；
（2）證明：當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=（x-1）e^x只有一個零點x=1；
當(dāng)-1≤a＜0時，由（1）得函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且f（0）=-1，f（2）=e²+2a≥e^x-2＞0，
而x＜0時，f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）只有一個零點．                              
當(dāng)-e≤a＜-1時，由（1）得函數(shù)f（x）在（0，ln（-a））單調(diào)遞減，在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，
且f（ln（-a））＜f（0）=-1＜0，f（2）=e²+2a≥e^x-2e＞0，而x＜0時，f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）只有一個零點．
所以，當(dāng)a∈[-e，0]，函數(shù)f（x）只有一個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點問題，考查分類討論思想，是一道難題．