Question

19．已知$\vec a=（{{x^2}，2x}）$，$\vec b=（{1，tanθ}）$，函數(shù)$f（x）=\vec a•\vec b-1$，$x∈[-1，\sqrt{3}]$，其中$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
（1）當(dāng)$θ=-\frac{π}{6}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間$[-1，\sqrt{3}]$上是單調(diào)的．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的運(yùn)算求解f（x）的解析式，化簡(jiǎn)，將$θ=-\frac{π}{6}$帶入結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（2）根據(jù)題意，在區(qū)間$[-1，\sqrt{3}]$上要么單調(diào)遞增，要么單調(diào)遞減，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案；

解答 解：$\vec a=（{{x^2}，2x}）$，$\vec b=（{1，tanθ}）$，$x∈[-1，\sqrt{3}]$，其中$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
函數(shù)$f（x）=\vec a•\vec b-1$，
可得：f（x）=x²+2xtanθ-1．
（1）當(dāng)$θ=-\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）=${x}^{2}+2x•tan（-\frac{π}{6}）-1={x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-1$．
其對(duì)稱軸x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，開(kāi)口向上．
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值為：$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}-1$=$-\frac{4}{3}$．
當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得最大值為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴$f{（x）_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$f{（x）_{min}}=-\frac{4}{3}$；
（2）∵f（x）=x²+2xtanθ-1．
其對(duì)稱軸x=-tanθ，
若$x∈[-1，\sqrt{3}]$是單調(diào)遞增，
則-tanθ≥$\sqrt{3}$．即tanθ$≤-\sqrt{3}$．
由正切函數(shù)性質(zhì)可知：θ∈（$-\frac{π}{2}+kπ$，$-\frac{π}{3}+kπ$]．
若$x∈[-1，\sqrt{3}]$是單調(diào)遞減，
則-tanθ≤-1．即tanθ≥1，
由正切函數(shù)性質(zhì)可知：θ∈[$\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{2}+kπ$）
由∵$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
∴當(dāng)θ∈$（{-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}}]或θ∈{[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）}$y=f（x）在區(qū)間$[-1，\sqrt{3}]$上是單調(diào)的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的乘積運(yùn)算和二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，單調(diào)性的討論！屬于中檔題．