Question

11．已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的兩個相鄰交點是A（0，0），B（6，0），C是函數(shù)f（x）圖象的一個最高點．a(chǎn)，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足（a+c）（sinC-sinA）=（a+b）sinB．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個單位后，縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的$\frac{π}{3}$倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的兩個相鄰交點是A（0，0），B（6，0），
∴sinφ=0，∴φ=0，且$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=6，∴ω=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=Msin（$\frac{π}{6}$x）．
∵C是函數(shù)f（x）圖象的一個最高點，a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，
滿足（a+c）（sinC-sinA）=（a+b）sinB，∴（a+c）（c-a）=（a+b）b，
整理可得$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
即cosC=-$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{2π}{3}$．
由題意可得CA=CB，∴∠A=$\frac{π}{6}$，設AB的中點為D，則CD⊥AB，且點D（3，0），點C（3，M），
根據(jù)tan∠A=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{M}{3}$，∴M=$\sqrt{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$x）．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$x）的圖象向左平移1個單位后，縱坐標不變，
可得y=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$（x+1）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把橫坐標伸長為原來的$\frac{π}{3}$倍，
得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{3}{π}$•$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，解直角三角形求出A．還考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．