Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n，其中1≤m≤3，0≤n≤4，記函數(shù)f（x）滿足條件$\left\{\begin{array}{l}f（2）≤12\\ f（-1）≤3\end{array}\right.$的事件為A，則事件A發(fā)生的概率為（　　）

• A． $\frac{5}{8}$
• B． $\frac{13}{16}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)解析式，可得事件A對(duì)應(yīng)的不等式為$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≤8}\\{-m+n≤2}\end{array}\right.$，因此在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組1≤m≤4，0≤n≤4和可得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≤8}\\{-m+n≤2}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，分別得到矩形ABCD和影音部分的面積，即可得到事件A發(fā)生的概率．

解答 解：∵f（x）=x²+mx+n，
∴不等式$\left\{\begin{array}{l}f（2）≤12\\ f（-1）≤3\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≤8}\\{-m+n≤2}\end{array}\right.$
以m為橫坐標(biāo)、n為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，
將不等式1≤m≤3，0≤n≤4和$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≤8}\\{-m+n≤2}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域作出，如圖所示
不等式組1≤m≤4，0≤n≤4對(duì)應(yīng)圖中的矩形ABCD，
其中A（1，0），B（3，0），C（3，4），D（1，4），E（2，4），F(xiàn)（1，3），G（3，2）
可得S_矩形ABCD=2×4=8，S_△DEF=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，S_△ECG=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
對(duì)應(yīng)圖中的陰影部分的面積為=S_矩形ABCD-S_△DEF-S_△ECG=8-$\frac{1}{2}$-1=$\frac{13}{2}$
∴事件A發(fā)生的概率為P（A）=$\frac{\frac{13}{2}}{8}$=$\frac{13}{16}$
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題以二次函數(shù)與不等式的運(yùn)算為載體，求事件A發(fā)生的概率．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．