Question

8．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若∠CAB=$\frac{π}{6}$，求三棱錐B₁-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 （1）欲證AB⊥BC，而AB?側(cè)面A₁ABB₁，可先證BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知AD⊥平面A₁BC，則AD⊥BC，又AA₁⊥BC，AA₁∩AD=A，滿足定理所需條件；
（2）利用等體積方法，求三棱錐B₁-A₁BC的體積．

解答 （1）證明：如圖，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，
則由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，
得AD⊥平面A₁BC．又BC?平面A₁BC
所以AD⊥BC．
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
又AB?側(cè)面A₁ABB₁，
故AB⊥BC．
（2）解：∵AB⊥BC，BB₁⊥AB，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C，∴A₁B₁⊥平面BB₁C，
∵∠CAB=$\frac{π}{6}$，
∴三棱錐B₁-A₁BC的體積=三棱錐A₁-B₁BC的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐B₁-A₁BC的體積的求法，是中檔題．