Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|3x+2|+|1-2x|+a）．
（1）當(dāng)a=-5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入f（x），通過討論x的范圍，求出函數(shù)的定義域即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞-（|3x+2|+|1-2x|），令g（x）=|3x+2|+|1-2x|，通過討論x的范圍求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-5時(shí)，f（x）=lg（|3x+2|+|1-2x|-5），
由|3x+2|+|1-2x|-5＞0，
得，x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，3x+2+2x-1-5＞0，解得：x＞$\frac{4}{5}$，
-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，3x+2+1-2x-5＞0，解得：x＞2，（舍），
x≤-$\frac{2}{3}$時(shí)，-3x-2+1-2x-5＞0，解得：x＜-$\frac{6}{5}$，
綜上，函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪（$\frac{4}{5}$，+∞）；
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，
只需|3x+2|+|1-2x|+a＞0，
即a＞-（|3x+2|+|1-2x|），
令g（x）=|3x+2|+|1-2x|，
x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=3x+2+2x-1=5x+1≥$\frac{7}{2}$，
-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=3x+2+1-2x=x+3∈（$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{2}$），
x≤-$\frac{2}{3}$時(shí)，g（x）=-3x-2+1-2x=-5x-1≥$\frac{7}{3}$，
故a≤-$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．