Question

5．三棱錐P-ABC的三條棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA，PB，PC的長分別為2，$\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的體積．

解答 解：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，
則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長方體的對角線長為$\sqrt{4+5+7}$=4，
∴球直徑為4，半徑R=2，
因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}$π，
故答案為：$\frac{32}{3}$π．

點評 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求它的外接球的體積，著重考查了長方體對角線公式和球的體積計算等知識，屬于基礎(chǔ)題．