Question

2．已知銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角A，B滿足$tanA-\frac{1}{sin2A}=tanB$，則有（　　）

• A． sin2A-cosB=0
• B． sin2A+cosB=0
• C． sin2A+sinB=0
• D． sin2A-sinB=0

Answer 1

分析 運(yùn)用切化弦和二倍角的正弦、余弦公式，結(jié)合兩角差的余弦公式，再由誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)可得2A-B=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，sin2A=cosB．

解答 解：銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角A，B滿足$tanA-\frac{1}{sin2A}=tanB$，
可得$\frac{sinA}{cosA}$-$\frac{1}{2sinAcosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
即為$\frac{2si{n}^{2}A-1}{2sinAcosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
即有$\frac{-cos2A}{sin2A}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
即有cos2AcosB+sin2AsinB=0，
即cos（2A-B）=0，
即有2A-B=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
由0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
可得-$\frac{π}{2}$＜2A-B＜π，
則k=0，可得2A=B+$\frac{π}{2}$，
sin2A=sin（B+$\frac{π}{2}$）=cosB，
即sin2A-cosB=0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換，主要是同角的商數(shù)關(guān)系、二倍角公式和兩角差的余弦公式以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．