Question

12．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是非零向量，f（x）=（$\overrightarrow{a}$x+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow$x-$\overrightarrow{a}$）的圖象是一條直線，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=1，則f（x）=2x．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算以及f（x）的圖象是一條直線，
得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，再利用|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=1求出${\overrightarrow}^{2}$的值，從而得出f（x）．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是非零向量，f（x）=（$\overrightarrow{a}$x+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow$x-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$x²+（${\overrightarrow}^{2}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$）x-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，
且f（x）的圖象是一條直線，∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0；
又|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=1，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1+0+${\overrightarrow}^{2}$=4，
解得${\overrightarrow}^{2}$=3，
∴${\overrightarrow}^{2}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$=3-1=2，
∴f（x）=2x．
故答案為：2x．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎(chǔ)題．