函數(shù)復(fù)習(xí)一:函數(shù)概念的基本理論
[教學(xué)目標(biāo)]
三、情感態(tài)度與價值觀:體會問題常常是從系統(tǒng)中理解和加深的思維方式
1、函數(shù)的定義:初中階段的變化定義和高中階段的數(shù)集定義[一般的,設(shè)A、B時兩個非空數(shù)集,按照某種對應(yīng)法則f,若對于集合A中的每個元素x,在B中都有惟一的元素y與之對應(yīng),這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)。記為y=f(x),x∈A。x叫做自變量,y叫做函數(shù)值(或因變量);]
(1)A中每個元素在B中都有惟一的元素與之對應(yīng);(2)B中的元素未必在A中有數(shù)與之對應(yīng),有的話也未必惟一
注意函數(shù)與映射的關(guān)系:
2、函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則
(1)定義域:定義域為集合,一般寫成集合的格式,區(qū)間是一種特殊的集合。當(dāng)定義域是緊跟解析式后面時,可以在小括號內(nèi)用不等式注明
常見求法:①每個式子有意義的不等式(組)的解集合;②實際問題除了原式外,還要根據(jù)實際情況確定函數(shù)的定義域;③f(t)定義域為Df[g(x)]的定義域為D1
(2)值域與最值:函數(shù)值的取值范圍集合,稱此函數(shù)的值域;整個定義域范圍內(nèi)最大(。┑暮瘮(shù)值稱函數(shù)的最大(。┲,注意函數(shù)取最值時,對應(yīng)的x必須有解。
一般求法:代入法、圖象法、單調(diào)性法、反表示法
(3)對應(yīng)法則:函數(shù)的對應(yīng)法則不同,表現(xiàn)為函數(shù)的表示方法不同
①列表法(含Venn圖對應(yīng)表示)
②圖象法:一般描點法作圖;也可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)用初等變換作圖,如:
y=f(x)+ny=f(x)y=f(x-m);函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱f(-x)=f(x)=f(|x|),關(guān)于原點對稱f(-x)=-f(x)
③解析法:解析式的一般求法: a,直接法:已知f(x) 解析式求f[g(x)]解析式; b,待定系數(shù)法:已知f(x)的結(jié)構(gòu)形式時; c,拼湊或換元法:已知f[g(x)]解析式求f(x)解析式時; d,代入消元法:當(dāng)“f”作用下,時,僅有x及另外一個與x有關(guān)的式子,可以用代換法得到另一式,消去其他,解出f(x);僅有任意元素的式子時,進(jìn)行差異分析的賦值代換
④不能用列表法、圖象法、解析法表示的函數(shù)稱抽象函數(shù)
二、難點講練
例1、已知函數(shù)解析式為y=x2,其值域為{1,4},求此函數(shù)的定義域
解:x2=1,解得x=±1,定義域中必須含有1或-1;x2=4解得x=±2,定義域中必須含有2或-2 ∴定義域為{-1,-2}或{-1,2}或{1,2}或{1,-2}或{-1,1,-2}或{-1,1,2}或{1,2,-2}或{-1,2,-2}或{-1,1,2,-2}之一
變式1:值域為[1,4]時,說明函數(shù)定義域的個數(shù)(作圖象,無數(shù)個)
變式2:值域為[0,4]時,寫出其一個定義域(解答不唯一,如:[-2,a]其中0≤a≤2或[a,2]其中-2≤a≤0)
例2、已知函數(shù)y=的最大值為4,最小值為-1,求這個函數(shù)的解析式
解:原式可變形為yx2-ax+y+b=0 *
函數(shù)定義域為R不空,方程*有解;y不恒為0,△=(-a)2-4y(y-b)≥0即y2-by-≤0
∵-1≤y≤4 ∴-1和4是f(y)=y2-by-的兩個零點∴∴
∴函數(shù)解析式為y=或之一
說明:這里用到了判別式,相應(yīng)稱判別式法
變形練習(xí):若a=1,b=0,求函數(shù)的值域(可以用判別式法,也可以根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且x2+1≥2x求解,解答[-1/2,1/2])
例3、已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:對任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)
(1) 求f(0)的值
(2) 判斷函數(shù)的奇偶性
解;(1)令y=0有f(x+0)=f(x)+f(0),∴f(0)=0
(2)令y=-x有f(0)=f(x)+f(-x)=0∴f(-x)=-f(x) ∴當(dāng)f(x)=0時,既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);當(dāng)f(x)不恒為0時,為奇函數(shù)
說明:抽象函數(shù)解題一般要消除已知與結(jié)論間的差異,這種思想方法稱差異分析,其過程一般是:第一部,明確已知與所求各是什么,它們之間有什么差異
第二步:就找出的差異,找已知與結(jié)論間的聯(lián)系
第三步:消除差異,問題得解
變形練習(xí)1:加條件x>0時,f(x)>0,判斷函數(shù)的單調(diào)性(增)
變形練習(xí)2:再加條件f(1)=2,求y=f(x)在[-n,n](其中n為正整數(shù))的最值(f最大(x)=f(n)=2n,f最小(x)=f(-n)=-2n)
[B]組補充習(xí)題
三、作業(yè): [A]組教材P93復(fù)習(xí)題1~6,P94---19,21
1、n個人進(jìn)行抽簽淘汰制比賽(抽到?jīng)Q定比賽的對手,勝者進(jìn)入下一輪抽簽淘汰賽,敗者淘汰不再參加比賽),要決出惟一一個冠軍,需要進(jìn)行多少場比賽( )(其中n≥2,n∈N)
A,n/2 B,(n-1)/
2、函數(shù)y=的定義域為___________
3、函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1),在[1,2]上,fmax(x)-fmin(x)=,則a=__________
4、函數(shù)f(x)=x2-2ax (1)如果f(x)在[0,2]上的最小值為-1,求實數(shù)a的值;(2)在(1)的條件下,函數(shù)的值域為[0,2],寫出函數(shù)的一個定義域
5、f(x)=定義域為R,值域為[0,2],求m,n的值
6、y=f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)減函數(shù),且對任意x,y,f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
(1)求f(1)的值 (2)如果存在實數(shù)m,使f(m)=2,求m的值;(3)若f(x)+f(2-x)<2,求x的范圍
[解答] D;2、{x|2<x≤3}; 3、3/2或1/2;4、(1)1;(2){x|1-≤x≤a,其中0≤a≤1+}(答案不唯一);5、m=n=5;6、(1)0; (2)1/9; (3)(1-,1+)
函數(shù)復(fù)習(xí)二:函數(shù)的基本性質(zhì)
[教學(xué)目標(biāo)]
[教學(xué)重點、難點]相關(guān)點法的操作步驟及應(yīng)用
[教學(xué)流程]
一、函數(shù)的性質(zhì)主要我們主要學(xué)習(xí)了其單調(diào)性和奇偶性
1、單調(diào)性:判斷函數(shù)的單調(diào)性一般方法有:
(1)圖象觀察法:①直接觀察,注意函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,有多個增(或減)區(qū)間時,是在各自單獨的區(qū)間列上單調(diào),而不是取并集后形成的一個集合上單調(diào)。中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù),在考慮它的單調(diào)區(qū)間時,能包括的盡量包括端點;.②平移后單調(diào)性不變,奇函數(shù)在原點兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在原點兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反;③注意“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是…”指的是全部,不能漏掉任何一段或一個值;它與 “在……區(qū)間上函數(shù)單調(diào)增(或減)”、“在….區(qū)間上函數(shù)是增(或減)函數(shù)”這兩種說法意義不同,后面兩種說法是單調(diào)區(qū)間上的一部分也可。
(2)解析式觀察法:實質(zhì)是看y隨x的增大而變化情況。經(jīng)常用到如下結(jié)論:①f(x)與Af(x)+B在同一區(qū)間上,當(dāng)A>0時單調(diào)性相同,在A<0時單調(diào)性相反;②f(x)恒正或恒負(fù),則f(x)與在同區(qū)間上單調(diào)性相反;③f(x)與g(x)具有相同的單調(diào)性,則f(x)+g(x)與它們的單調(diào)性相同;④兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)同增異減(用時注意函數(shù)的定義域,將所求范圍全部轉(zhuǎn)化到x范圍上)
(3)定義驗證法:①原始定義:對區(qū)間D內(nèi)任意x1,x2,若當(dāng)<時,都有<,則說在這個區(qū)間上是增函數(shù),有的書上用符號↑;若當(dāng)<時,都有>,則說在這個區(qū)間上是減函數(shù). 有的書上用符號↓;②變形定義:對于任意h>0,若f(x+h)>f(x),則f(x)單調(diào)增;若f(x+h)<f(x),f(x)單調(diào)減。
證明一個函數(shù)單調(diào)性目前只能用定義法,步驟:設(shè)值――作差變形――判斷結(jié)論,最常見變形有:分解因式、配平方、乘方及開方、有理化。
2、函數(shù)的奇偶性:
(1)定義:對定義域內(nèi)任意x,f(-x)=±f(x),正為偶函數(shù)還有(f(x)=f(|x|)),負(fù)為奇函數(shù)
(2)函數(shù)奇偶性的判斷方法有圖象法和定義法,(注意判斷函數(shù)奇偶性的前提是定義域必須關(guān)于原點對稱,步驟為:求出――指出――算出――斷出)。
二、典例演練:
例1、f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在[0,+∞)上單調(diào)增,若f(2x-2)<f(1),求x的范圍
解:原不等式可以化為f(|2x-2|)<f(1)即|2x-2|<1,<x<
例2、已知函數(shù)y=f(x)為定義在R上奇函數(shù),且x>0時,f(x)=x2+x-1,求f(x)解析式
解:[方法一]圖象法:
因函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),f(0)=0;y=f(x)在x>0上過點(1,1),(2,5),(3,11)所以x<0時y=f(x)過點(-1,-1),(-2,-5),(-3,-11),由待定系數(shù)法解得x<0時f(x)=-x2+x+1,∴
f(x)=
點評說明:這一方法,需要已知式子的結(jié)構(gòu)形式,取點、運算等比較煩瑣,能否進(jìn)一步改進(jìn)呢?
[方法二] 因函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),f(0)=0.當(dāng)x<0時,-x>0,于是f(-x)=(-x)2+(-x)-1
=x2-x-1-f(x)=x2-x
說明 1:這里我們將(x,f(x))與(-x,f(-x))兩個點,一個點隨另一個點的變動而變動,這樣的兩個點互稱相關(guān)點。相應(yīng)的這種方法稱相關(guān)點法。
說明2:相關(guān)點法的解題步驟:第一步:設(shè)所求曲線(段)上任意一點為(x,y)
第二步:用(x,y)表示其相關(guān)點坐標(biāo)(x1,y1)
第三步:代入(x1,y1)滿足的條件關(guān)系式,必要時檢驗或加條件限制,即為所求(段)的關(guān)系式
第四步:如果要求是總體,加以匯總。
正因有代入這一項,有的書上也稱代入法
說明3、通過相關(guān)點法,可以將難求的線轉(zhuǎn)化為點來求
練習(xí)1:在上例中,若y=f(x)為偶函數(shù),這樣的函數(shù)確定嗎?
(解答:不確定,f(x)=)
練習(xí)2:給出函數(shù)y=f(x),求其關(guān)于直線x=a,y=b,點(a,0),點(0,b)及點(a,b)對稱的函數(shù)關(guān)系式。
解答
對稱直線或?qū)ΨQ點
對稱的函數(shù)關(guān)系式
直線x=a
y=f(2a-x)
直線y=b
y=2b-f(x)
點(a,0)
y=-f(2a-x)
點(0,b)
y=2b-f(-x)
點(a,b)
y=2b-f(2a-x)
[B]組補充習(xí)題
四、作業(yè)[A]組:教材P93----7,8,13,P94----17,25,28
1、x<0時,y=(x2-2x-3)單調(diào)增,則實數(shù)a的范圍是( )
A,(-1,0) B,(0,1) C,(-1,0)∪(0,1) D,(1,+∞)
2、x>0時,f(x)=|lgx|,且如果0<a<b則f(a)>f(b),則( )
A,ab>1 B,ab<1 C,ab=1 D,(a-b)(b-1)>0
3、已知函數(shù)y=loga(2-ax)在[0,1]上單調(diào)減,則a的范圍是____________
4、當(dāng)x>0時,f(x)=x3+2x2,分別求函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)、偶函數(shù)時函數(shù)的解析式
5、已知f(x2-3)=lg (1)求f(x)的解析式及定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性;(3)當(dāng)g(x)滿足f[g(x)]=lg(x+1)時,求g(3)
6(選作)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且f(-x)=-f(x),當(dāng)0<x<1時,f(x)=(1)求f(x)在[-1,1]上解析式;(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性;(3)當(dāng)λ為何值時,f(x)=λ在[-1,1]上有解
[解答] 1、(-1,0)∪(0,1); 2、B; 3、(1,2);4、f(x)為奇函數(shù)時,f(x)=;f(x)為偶函數(shù)時,f(x)= ;5、(1)f(x)=lg,定義域為(-∞,-3)∪(3,+∞);(2)奇函數(shù);(3)5;6、(1)f(x)=(2)↓;(3)(-,-)∪{0}∪(,)
函數(shù)復(fù)習(xí)三:函數(shù)圖象的對稱性
[教學(xué)目標(biāo)]
[教學(xué)重點、難點]結(jié)論的應(yīng)用
[教學(xué)流程]
一、情景引入
三、情感態(tài)度與價值觀:感受事物是不斷發(fā)展變化的世界觀
1、函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)關(guān)于什么對稱?(二者由y=f(x)及y=f(-x)分別向左移1個單位得到,而后兩者關(guān)于直線x=0對稱,從而原函數(shù)關(guān)于直線x=1對稱)
2、 對于一個具有奇偶性的函數(shù)y=f(x)的特征有:
名稱
函數(shù)的式子特征
函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)
f(-x)=-f(x)
關(guān)于原點對稱
偶函數(shù)
f(-x)=f(x)
關(guān)于y軸對稱
3、對于函數(shù)f(x)=x2-2x+3與y=的圖象各有什么對稱特征?(前者關(guān)于直線x=1對稱,后者關(guān)于點(1,0)對稱)
4、更一般的,如果一個函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a與點(a,0)對稱,函數(shù)式子有什么特征呢?引入標(biāo)題――函數(shù)圖象的對稱性
從圖象觀察,一個關(guān)于直線x=a對稱的函數(shù)y=f(x),它應(yīng)該滿足什么特征?
二、建構(gòu)教學(xué)
f(a-x)=f(a+x).
從數(shù)的形式上看,由相關(guān)點法的基本原理,設(shè)(x,f(x))是y=f(x)圖象上任意一點,它關(guān)于直線x=a的對稱點(x1,f(x))在函數(shù)圖象上,從而f(x1)=f(x),而x與x1到x軸上a對應(yīng)的點的距離相等,于是a-x=x1-a,x1=2a-x,從而f(x1)=f(2a-x),于是f(2a-x)=f(x)(如圖2)
從圖象觀察出的結(jié)論與實際作出的結(jié)論形式不一樣!是否一致呢?
一方面,由f(2a-x)=f(x)對任意x成立,當(dāng)然對a+x也成立,于是f[2a-(a+x)]=f(a-x)=f(a+x);
另一方面,由f(a-x)=f(a+x)成立,f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),于是我們得到:
結(jié)論1:一個函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱f(a-x)=f(a+x)f(2a-x)=f(x)
仿照上面過程,請你導(dǎo)出函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱式子滿足的特征。
結(jié)論2:函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱f(a+x)=-f(a-x)(或表達(dá)為f(a+x)+f(a-x)=0)f(2a-x)=-f(x)(或f(2a-x)+f(x)=0)
思考1:一個函數(shù)y=f(x)的圖象能否關(guān)于直線y=b對稱?(除了函數(shù)f(x)=b外,其余不能,否則一個x對應(yīng)兩個y就不再是函數(shù))
思考2:函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(a,b)對稱,式子滿足什么特征?(f(x)+f(2a-x)=2b或者寫成f(a-x)+f(a+x)=2b)
三、結(jié)論應(yīng)用:
例1、已知函數(shù)y=f(x)滿足:對任意x,f(2+x)=f(2-x),如果函數(shù)y=f(x)有兩個不同的零點,求此兩個零點的和
解:由已知,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,兩個不同零點也關(guān)于直線x=2對稱,設(shè)為x1,x2,于是2-x1=x2-2,x1+x2=4
變形1:有3個、4個、5個、n個零點,零點和各是多少呢?(6,8,10,2n)
變形2:已知條件改為“對任意x,f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0”則函數(shù)y=f(x)在[0,10]、[-10,10]、[-100,100]各有多少個零點?(3,5,3×20-19=41)
例2、函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(2,0)對稱,當(dāng)x≥2時,f(x)=lg(x-1),(1)求函數(shù)的解析式;(2)作出函數(shù)的圖象;(3)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
解:(1)x<2時,f(x)=-f(4-x)=-lg(4-x-1)=-lg(3-x)∴f(x)=
(2)
(3)函數(shù)的增區(qū)間是(-∞,+∞),無單調(diào)減區(qū)間
練習(xí):一個函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱,在[a+1,a+2]上單調(diào)增,則它在[a-2,a-1]上的單調(diào)性如何?在[a+1,a+2]上單調(diào)減呢?由此你能得到什么結(jié)論?(單調(diào)減,單調(diào)增,關(guān)于x=a對稱的函數(shù)在對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反)
思考:將上面練習(xí)中的直線x=a改成點(a,0),結(jié)論又如何?(關(guān)于點(a,0)對稱的函數(shù)在對稱中心兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同)
四、小結(jié)本節(jié)內(nèi)容:1、一個函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱f(a-x)=f(a+x)f(2a-x)=f(x) ;函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱f(a+x)=-f(a-x)(或表達(dá)為f(a+x)+f(a-x)=0)f(2a-x)=-f(x)(或f(2a-x)+f(x)=0)
2、關(guān)于x=a對稱的函數(shù)在對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反;關(guān)于點(a,0)對稱的函數(shù)在對稱中心兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同
五、作業(yè)習(xí)題
1、y=f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)增,f(-1)=0,則f(x+1)<0的解集為________________
2、函數(shù)y=在(-∞,a)上單調(diào)減,則實數(shù)a的范圍是( )
A, (-∞,0) B, C, (0,+∞) D,
3、第2題中,函數(shù)的對稱中心是_________________
4、定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)還關(guān)于點(a,0)對稱,則它一定過下列哪些點( )
①(0,0);②(a,0);③(-a,-f(a));④(2a,0)
5、已知函數(shù)f(x)=x2-bx+c,f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),則有( )
A,f(bx)≥f(cx) B,f(bx)≤f(cx) C, ,f(bx)<f(cx) D,f(bx)>f(cx)
6、函數(shù)f(x)=ax-1+3關(guān)于點(-1,0)對稱的函數(shù)記為y=g(x),則函數(shù)y=g(x)一定過定點________
7、函數(shù)y=(x+1)3+1的對稱中心是__________
8、已知函數(shù)f(x)=- (1)求證其圖象關(guān)于點(1/2,-1/2)對稱;
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;(3)求f(-n)+f(-n+1)+……+f(n)+f(n+1)的值
9、y=f(x)為偶函數(shù),f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=lgx,求x∈(-2,-1)時函數(shù)解析式
10、已知f(x)=lg,且y=g(x)圖象與y=-的圖象關(guān)于直線x=1對稱 (1)求F(x)=f(x)+g(x)的解析式與定義域,并判斷函數(shù)奇偶性;(2)在F(x)的圖象上是否存在不同的兩點A、B,使AB⊥y軸,說明理由
[答案] (-∞,-2)∪(-1,0); B; (-1,-3);①②③④; B;6、(-3,-4); 7、(-1,1);8、(2)-3;(3)-n-1;9、f(x)=lg(2+x); 10、(1)F(x)=lg+,定義域(-1,0)∪(0,1),是奇函數(shù);(2)不存在,因函數(shù)在(-1,0)和(0,1)單調(diào)增,且在 (0,1)上F(x)>0,而在(-1,0)上F(x)<0
函數(shù)復(fù)習(xí)四:基本初等函數(shù)
[教學(xué)目標(biāo)]
[教學(xué)重點、難點]基本初等函數(shù)應(yīng)用
[教學(xué)流程]
一、基本初等函數(shù)一直從高中到初中進(jìn)行學(xué)習(xí),已經(jīng)學(xué)習(xí)過的有:一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)、函數(shù)y=x+(k>0)、指數(shù)對數(shù)函數(shù)
1、初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)
⑴一次函數(shù):f(x)=kx+b(k≠0),圖象為一條直線,在k>0時函數(shù)單調(diào)增,k<0時函數(shù)單調(diào)減
引申:一次函數(shù)f(x)=kx+b在(m,n)上,f(x)>c恒成立;一次函數(shù)f(x)=kx+b在(m,n)上,f(x)<c恒成立;函數(shù)f(x)=kx+b在[m,n]上,f(x)>c恒成立;函數(shù)f(x)=kx+b在[m,n]上,f(x)<c恒成立
⑵、二次函數(shù)
解析式形式
對稱軸
一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
x=-
零點式f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
x=
頂點式f(x)=a(x-h)2+k (a≠0)
x=h
二次函數(shù)在一閉區(qū)間上的最值,一般結(jié)合圖象,取決于對稱軸、開口方向和定義域的相對位置。
⑶、反比例函數(shù):f(x)=(k≠0)圖象是雙曲線,k>0時單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)及(0,+∞);k<0時單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)及(0,+∞)
2、高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)
(1)常數(shù)函數(shù)f(x)=c(注意函數(shù)定義域)
(2)分段函數(shù):圖象中間分段,注意書寫格式
(3)函數(shù)y=x+(k>0),圖象:
⑷、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)
①、指數(shù)與對數(shù)
類別
指數(shù)
對數(shù)
式子
ab=N
logaN=b
性質(zhì)
如果 a > 0 , a ¹ 1, M > 0 ,N > 0, 那么;
;
;
( a > 0 ,a ¹ 1 ,m > 0 ,m ¹ 1,N>0)
②、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
類別
指數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)
解析式
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
圖象
定義域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
過定點
(0,1)
(1,0)
底數(shù)a對圖象的影響
x=1時,y=a;作x=1直線與圖象交點越在上a值越大
y=1時x=a;作y=1直線與圖象交點越在右a值越大
單調(diào)性
a>1時單調(diào)增,0<a<1時單調(diào)減
⑸、冪函數(shù):f(x)=xα(α∈R)
冪函數(shù)性質(zhì):1、所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有意義,且都過點(1,1)
2、α>0時,冪函數(shù)的圖象還過原點,且在上↑。特別的,α>1時,圖象下凸;0<α<1時,圖象上凸
3、α<0時,冪函數(shù)圖象在(0,+∞)上↓,在第一象限內(nèi)向兩軸無限趨近。
二、典例分析
例1、函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[0,a]上最大值為3,最小值為2,求a的值或范圍
分析:已知中已經(jīng)內(nèi)含了一個已知條件a>1,而二次函數(shù)最值決定于對稱軸、定義域和開口方向的相對位置,體現(xiàn)相對關(guān)系的最基本方法是畫圖象,該問題可以體現(xiàn)為以下三種形式的圖象:
于是對應(yīng)有:(解為a=1)(恒成立)
(無解) 總之a(chǎn)∈[1,2]
練習(xí):f(x)=x2-2ax+3在[0,1]最大值為3,求實數(shù)a的范圍(a≥)
例2、已知方程m=|ax-1|+1(a>0,a≠1)有兩個不同的解,求實數(shù)m的范圍
分析:作出y=|ax-1|+1與y=m的圖象,根據(jù)圖象觀察交點的個數(shù)
a>1時,y=|ax-1|+1=,如圖1,1<m<2
0<a<1時,y=|ax-1|+1=,如圖2,1<m<2 總之1<m<2
練習(xí):指數(shù)函數(shù)f(x)=ax在[0,1]上最值和為3,求實數(shù)a的值 (2)
例3、教材P95---30
三、匯總:1、問題的切入點常常結(jié)合圖形進(jìn)行
2、分類討論的結(jié)果注意匯總
四、作業(yè):[A]組P93----10,11,12,14,15
[B]組補充習(xí)題
1、已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-2)x+5在(4,+∞)上單調(diào)增,則實數(shù)a的范圍是( )A,a≤-2 B,a≥-2 C,a≤-6 D,a≥-6
2、若冪函數(shù)y=(m2-3m-3)的圖象不過原點,則實數(shù)m的范圍是( )A,[-2,1] B,{-1,4} C,{-1} D,{4}
3、(1)0≤x≤4時,函數(shù)y=4x-2x+2+5的值域為______________
(2)函數(shù)y=的值域為_____________
4、將a的范圍填上
(1)函數(shù)y=在(-∞,2)上單調(diào)增____________
(2)函數(shù)y=loga(2-ax)在[0,1]上是減函數(shù)___________
5、函數(shù)y=logax在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a
6、指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象如圖。
(1)在坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=()x的圖象
(2)求函數(shù)y=ax2+bx的頂點橫坐標(biāo)的取值范圍
7、已知函數(shù)f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1)(1)求f(x)的定義域、值域
(2)證明f(x)在定義域上是減函數(shù)
[答案];B;C;3、(1)[1,197];(2)(1,2);4、(1)(-1,0)∪(0,1) (2)(1,2);5、1或2
6、(2)(-1/2,0);7、 (1)a>1時,定義域、值域為(-∞,0);0<a<1時,定義域、值域為(0,+∞);(2)略
函數(shù)復(fù)習(xí)五:函數(shù)與方程、不等式
[教學(xué)目標(biāo)]
[教學(xué)重點、難點]轉(zhuǎn)化關(guān)系
[教學(xué)流程]
一、函數(shù)與方程不等式間存在著內(nèi)在的聯(lián)系
特別的:
1、指數(shù)方程與對數(shù)方程,可以轉(zhuǎn)化為學(xué)過的方程(與不等式組)進(jìn)行
方程形式
轉(zhuǎn)化成的形式
af(x)=ag(x)
f(x)=g(x)
logaf(x)=logag(x)
f(x)=g(x)>0
2、指數(shù)與對數(shù)不等式也是等價轉(zhuǎn)化為已知的不等式組求解(根據(jù)單調(diào)性和定義域確定)
不等式
a>1時的轉(zhuǎn)化
0<a<1時的轉(zhuǎn)化
af(x)>ag(x)
f(x)>g(x)
f(x)<g(x)
logaf(x)>logag(x)
f(x)>g(x)>0
0<f(x)<g(x)
3、方程的近解,只要在根“附近”異號,可以用二分法求方程的近似解(先通過圖形找出大致區(qū)間,依次取平均數(shù)找異號區(qū)間,直到達(dá)到精確度)
4、一元二次方程根的分布一般根據(jù)圖形得出其條件
二、典例演練
例1、求函數(shù)y=的定義域
解:由已知即定義域為{x|x≥1000或0<x≤}
練習(xí)1:log2a+1<1求a的范圍 (解答:a>-且a≠0)
例2、函數(shù)f(x)單調(diào)減,且f(-)≤f()≤f(-3),求函數(shù)y=log2log2的值域
解:-3≤≤-,即≤x≤23,原函數(shù)可以化為y=(log2x-log24)(log2x-log22)
=(log2x-2)(log2x-1)=log22x-3log2x+2,設(shè)t=log2x,則y=t2-3t+2=f(t), ≤t≤3,作出函數(shù)的圖象有: ymax=f(3)=2,ymin=f()=-,函數(shù)值域為[-,2]
練習(xí):設(shè)f(x)=,求f(x)=的解集(解答{3})
例3、求函數(shù)y=lgx+x-3的零點所在的區(qū)間為(a,b),a、b為整數(shù),則ab=________
分析:要看lgx+x-3=0的解的大致位置,只要看y=lgx與y=3-x函數(shù)交點對應(yīng)的x的范圍,可以用二分法大致估計交點的范圍,作出圖象
a=2,b=3,于是ab=6
[B]組補充習(xí)題
四、作業(yè):[A組]教材P94---16,20,26,27
1、下列函數(shù)圖象中,哪個不能用二分法求函數(shù)的近似零點( )
2、方程lnx+x=3的解一定在區(qū)間( )
A,(1,2) B,(2,3) C,(3,4) D,(4,5)
3、函數(shù)f(x)=,則xf(x)-x≤2的解集為____________
4、設(shè)0<a<1,loga(a2x-2ax-2)<0的x的范圍是_________
5、方程lgx+lg(1-x)=lga有兩個解,則a的范圍是_________
x
1
2
3
4
g(x)
1
1
3
3
6、給出函數(shù)f(x)、g(x)如下表,lgx在f[g(x)]的值域中,求x的集合
x
1
2
3
4
f(x)
4
3
2
1
7、解關(guān)于x的方程:4x-6x-2×9x=0
8(選作)、解關(guān)于a的不等式:>
[解答] 1、B; 2、B; 3、{-1}∪; 4、x<loga3; 5、(0,1/4); 6、{10000,100}; 7、{};
8*、(-1,)∪(1,+∞)
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