即

    ①             ②

，       

2    =2

即+=4－    得……………11分

將其代入方程①得      

因?yàn)榍�線(xiàn)的橫坐標(biāo)范圍為，所以這樣的直線(xiàn)不存在。……………13分

59、(湖北省鄂州市2008年高考模擬)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足點(diǎn)P是線(xiàn)段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線(xiàn)段F₂Q上，并且滿(mǎn)足

   （Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；

   （Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；

   （Ⅲ）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F₁MF₂的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，

所以

   （Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上．

當(dāng)且時(shí)，由，得．

又，所以T為線(xiàn)段F₂Q的中點(diǎn)．

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是

（Ⅲ） C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

由③得，由④得  所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M．

當(dāng)時(shí)，，

由，

，

，得

【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】平面向量與橢圓的綜合問(wèn)題是《考試大綱》所

強(qiáng)調(diào)的問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握其解題技巧，一般地，在這類(lèi)問(wèn)題

種，平面向量只起“背景”或“結(jié)論”的作用，幾乎都不會(huì)

在向量的知識(shí)上設(shè)置障礙，所考查的核心內(nèi)容仍然是解析幾

何的基本方法和基本思想，比如本題（Ⅰ）本質(zhì)是焦半徑公

式，核心內(nèi)容還是橢圓的第二定義的轉(zhuǎn)化思想．（Ⅱ） 由

“PT其實(shí)為線(xiàn)段QF₂的垂直平分線(xiàn)”可聯(lián)想到下面的題目：如右圖，Q為長(zhǎng)軸為2a橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，QP是∠F₁QF₂的外角平分線(xiàn)，且F₁P⊥QP，延長(zhǎng)F₂Q，使F₂Q與F₁P交于點(diǎn)M，則|QF₁|=|QM|，所以點(diǎn)M的軌跡是以F₂為圓心2a為半徑的圓，進(jìn)一步可得到P的軌跡是以O(shè)為圓心a為半徑的圓．

60、(湖北省黃岡市麻城博達(dá)學(xué)校2008屆三月綜合測(cè)試)已知直線(xiàn)相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，M是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，，且點(diǎn)M在直線(xiàn)上.

   （Ⅰ）求橢圓的離心率；

   （Ⅱ）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程.

解：（Ⅰ）由知M是AB的中點(diǎn)，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

由

，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為                                 4分

又M點(diǎn)的直線(xiàn)l上：

                                                  7分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為關(guān)于直線(xiàn)l：

上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

則有                       10分

由已知

，∴所求的橢圓的方程為                 12分

61、(湖北省黃岡市2007年秋季高三年級(jí)期末考試)在△ABC中，B是橢圓在x軸上方的頂點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)位于x軸下方的準(zhǔn)線(xiàn)，當(dāng)AC在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)。

(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

(2)過(guò)定點(diǎn)作互相垂直的直線(xiàn)，分別交軌跡E于M、N和R、Q，求四邊形MRNQ面積的最小值。

解：（1）由橢圓方程及雙曲線(xiàn)方程可得點(diǎn)直線(xiàn)方程是

   且在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)。

   可設(shè)

   則的垂直平分線(xiàn)方程為                            ①

   的垂直平分線(xiàn)方程為          ②

P是△ABC的外接圓圓心，點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程①和②

由①和②聯(lián)立消去得

故圓心P的軌跡E的方程為

(2)由圖可知，直線(xiàn)和的斜率存在且不為零，設(shè)的方程為，

，的方程為

由         得

  △=直線(xiàn)與軌跡E交于兩點(diǎn)。

設(shè)，則。

同理可得：四邊形MRNQ的面積

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。

故四邊形MNRQ的面積的最小值為72。（13分）

62、(湖北省荊門(mén)市2008屆上期末)已知F₁、F₂為雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線(xiàn)的左支上，點(diǎn)M在右準(zhǔn)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足：，（λ＞0）

   （1）求此雙曲線(xiàn)的離心率；

   （2）若過(guò)點(diǎn)N（，）的雙曲線(xiàn)C的虛軸端點(diǎn)分別為B₁、B₂（B₁在y軸正半軸上），點(diǎn)A、B在雙曲線(xiàn)上，且，，求雙曲線(xiàn)C和直線(xiàn)AB的方程.

解：（1）法一：依題意四邊形OF₁PM為菱形，設(shè)P（x，y）則F₁（－c，0），M（，y）

    代入得

       化簡(jiǎn)得e＝2                    ……………4分

法二：OF₁PM為平行四邊形，

又（λ＞0）知P在的角平分線(xiàn)上

∴四邊形OF₁PM為菱形，且邊長(zhǎng)為，∴   ………4分

由第二定義知即  又

   （2）∴雙曲線(xiàn)C的方程為 ……………8分

   ∵∴過(guò)B₂的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且

    設(shè)直線(xiàn)AB：代入得

    設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由 

    ∴直線(xiàn)AB的方程為

63、(湖北省荊州市2008屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))如圖，已知為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，，且，（是和的交點(diǎn)）

⑴建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程；

⑵若點(diǎn)的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與（或的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交于一點(diǎn)，證明：（為的中點(diǎn)）

解：⑴如圖1，以所在的直線(xiàn)為軸，的中垂線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系

由題設(shè)

，而

點(diǎn)是以為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，故點(diǎn)的軌跡方程為          （6分）

⑵如圖2，設(shè)，，且，

即，又在軌跡上，

即

代入整理得：

，                                                  （10分）

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。

64、(湖北省隨州市2008年高三五月模擬)已知方向向量為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓的中心和橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足：。

⑴求橢圓的方程；

⑵設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的弦分別為,設(shè)，求的值。

65、(湖北省武漢市武昌區(qū)2008屆高中畢業(yè)生元月調(diào)研測(cè)試)已知圓A：，圓B：，動(dòng)圓P與圓A、圓B均外切，直線(xiàn)的方程為x＝a(a≤).

（Ⅰ） 求動(dòng)圓P的圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于M、N兩點(diǎn)，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中點(diǎn)R在上的射影Q滿(mǎn)足MQ⊥NQ，求的取值范圍.

解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為，則│PA│＝，│PB│=,

∴│PA│－│PB│=2.                   

 故點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)的右支，

其方程為（≥1）.          ………………………………………3分

（Ⅱ）(1)設(shè)MN的方程為，代入雙曲線(xiàn)方程，得

.

由，解得.  ………………………………………5分

設(shè),則

.

當(dāng)時(shí),.               ………………………………………7分

(2)由（1）知 ，.

由,知.

所以，從而.

由,得.           ………………………………………13分

另解：

 (1)若MN的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線(xiàn)MN的方程為，代入雙曲線(xiàn)方程,得.

由  解得.       …………………………………5分

設(shè),則

＝││＝6＋.

當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，＝2，得＝3，＝－3.此時(shí)＝6.

所以＝6.                   ……………………………………………7分

(2)當(dāng)MQ⊥NQ時(shí)，│RQ│＝＝.①  

又＝＝2，即＝2 ，

所以│MN│＝， 故.  ② 

將②代入①，得│MN│＝2－.

由│MN│＝2－,得≤－1.        ………………………………………13分

66、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯(lián)考)已知拋物線(xiàn)x²＝4y上的點(diǎn)P(非原點(diǎn))處切線(xiàn)與x、y軸分別交于Q、R點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)。

（Ⅰ）

（Ⅱ）若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)面積的最小值，并寫(xiě)出此時(shí)過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)方程。

解：（Ⅰ）設(shè)

令

。

（Ⅱ）知 

=

顯然只需考查函數(shù)

     時(shí)，也取得最小值 。

     故此時(shí)過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)PR的方程為：

67、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯(lián)考)如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，沿某動(dòng)直線(xiàn)為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為；折痕與AB交于點(diǎn)E，點(diǎn)M滿(mǎn)足關(guān)系式。若以B為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）：

    （Ⅰ）．求點(diǎn)M的軌跡方程；

    （Ⅱ）．若曲線(xiàn)S是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)組成的，等腰梯形的三邊分別與曲線(xiàn)S切于點(diǎn).求梯形面積的最小值.

解：（1）如圖，設(shè)M（x,y），，又E（0，b）

顯然直線(xiàn)l的斜率存在，故不妨設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b,,則

而的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上，

故，①

由于代入①即得，又

點(diǎn)M的軌跡方程（）-------------6分

（2）易知曲線(xiàn)S的方程為

設(shè)梯形的面積為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

        由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為.

      直線(xiàn)的方程為

即：

        令  得，

令  得，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”且，

  時(shí)，有最小值為.

梯形的面積的最小值為----------13分

68、(湖南省長(zhǎng)沙市一中2008屆高三第六次月考)已知圓M：（x+）²+y²=36及定點(diǎn)N（，0），點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿(mǎn)足.

（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)K（2，0）作直線(xiàn)l，與曲線(xiàn)C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線(xiàn)，使四邊形OASB的對(duì)角線(xiàn)相等？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

解：（1）為PN的中點(diǎn)，且GQ是PN的中垂線(xiàn).

∴

又

∴點(diǎn)G的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，

∴的軌跡方程是……………………………………（5分）

（2）四邊形OASB為平行四邊形，假設(shè)存在直線(xiàn)，使；則四邊形OASB為矩形.

若直線(xiàn)的斜率不存在，則的方程為.

，這與=0矛盾，故的斜率存在.………………………（7分）

設(shè)直線(xiàn)的方程為、.

     ………………………（9分）

又………………………（12分）

∴存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件. ……………………（13分）

69、(湖南省雅禮中學(xué)2008年高三年級(jí)第六次月考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若實(shí)數(shù)使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)）

（I）求點(diǎn)的軌跡方程，并討論點(diǎn)的軌跡類(lèi)型；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（斜率不等于零）與（I）中點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

解：（I）由已知可得．

                                                     5分

即P點(diǎn)的軌跡方程是                        7分．

當(dāng) P點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)．         9分

，即時(shí)，方程為 P點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)．                                                                 11分

，即時(shí)，方程為, P點(diǎn)的軌跡是兩條射線(xiàn)．        13分

70、(湖南省岳陽(yáng)市2008屆高三第一次模擬)已知直線(xiàn)l: y＝2x－與橢圓C:＋y²＝ 1 (a＞1)交于P、Q兩點(diǎn), 以PQ為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A.

(1) 設(shè)PQ中點(diǎn)M(x₀,y₀), 求證: x₀＜

(2)求橢圓C的方程.

解: (1)設(shè)直線(xiàn)l: y＝2x－與橢圓C: ＋y²＝ 1 (a＞1)交于P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂), 右頂點(diǎn)A(a,0), 將y＝2x－代入x²＋a²y²－a²＝0中整理得(4a²＋1)x²－4a²x＋2a²＝0

∵M(jìn)(x₀,y₀)為PQ中點(diǎn) ∴x₀＝ ＝  ＝ － 故x₀＜

(2)依題意: ?＝0, 則(x₁－a)(x₂－a)＋y₁y₂＝0 又y₁＝2x₁－, y₂＝2x₂－

故 (x₁－a)(x₂－a)＋(2x₁－)(2x₂－)＝0 由①②代入③ 得: 4a⁴－4a³－a²＋3＝0

∴(a－)(4a²－a－)＝0 ∵a＞1, 則4a²－a－＞0  故a＝

故所橢圓方程為 ＋ y²＝1

71、(湖南省株洲市2008屆高三第二次質(zhì)檢)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)．

  （1）若直線(xiàn)的傾斜角，求；

  （2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡；

  （3）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，

線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

解：（1）直線(xiàn)方程為與聯(lián)立得

                 …………………4分

（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為依題意有

 所以弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以為中心，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1，短軸長(zhǎng)為的橢圓。                                                               …………………8分

（3）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為

    代入整理得

    直線(xiàn)AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。

    記中點(diǎn)   則

    的垂直平分線(xiàn)NG的方程為 令得

    點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為                       …………………13分

72、(吉林省吉林市2008屆上期末)拋物線(xiàn)C的方程為，作斜率為的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)C于A(yíng)兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同），且滿(mǎn)足

   （1）求拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；

   （2）設(shè)直線(xiàn)AB上一點(diǎn)M滿(mǎn)足證明：線(xiàn)段PM的中點(diǎn)在y軸上；

   （3）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，―1），求∠PAB為鈍角時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取

值范圍.

解：（1）由拋物線(xiàn)C的方程得，

焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ……………………………………2分

   （2）設(shè)直線(xiàn)PA的方程為